| 单词 | 奇异摄动理论 |
| 释义 | 【奇异摄动理论】 拼译：theory of singular perturbation 奇异摄动问题广泛存在于航天、等离子体、非线性振动、电磁辐射、核聚变，湍流、燃烧、勘探、气象、海洋、控制论、化学反应、半导体物体理、生物物理、生态学、医学、经济学等领域。在实际问题中，特别是在高新技术中提出的一类问题，在许多情况下，可以用奇异摄动方法解决。奇异摄动方法的优点是能给出足够精度的解析结构的解，克服单纯用数值方法求得的离散的近似解所带来的弱点。因此它越来越受到国际学术界的重视。 摄动理论起源于天体力学。19世纪后期，为了研究月球、行星的运动，拉普拉斯(P．S．Laplace)、德洛勒(C．E．Delaunay)、希耳(G．W．Hill)和汉森(P．A．Hansen)等开始用了摄动方法。后来，邦加雷(H．Poincare)在《天体力学新方法》中归纳了这段时期的各种成果．提出了建立摄动理论的一些研究方向，如级数解理论、周期解理论和特征指数理论等。20世纪以来，用变换理论作为研究方向又有了很大的发展，特别是50年代以后，由于人造卫星的发射以及电子计算机的广泛应用，变换理论成为摄动理论的一种重要工具。奇异摄动理论是在发展中逐步形成的，是在现代科学中出现的一类问题，特别是在研究非线性问题时，或者由于所研究的区域是无限的，或者是所归纳的微分方程最高阶导数项带有小参数的系数，或者被研究的偏微分方程在退化时其类型有改变，或者微分方程中存在奇点等等，用“正规的”摄动方法已不能处理这类问题，因此各种奇异摄动方法就应运而生，并发展成为一种新的理论。从20世纪60年代以来，利用奇异摄动方法解决了大量的实际问题。在非线性振动方面，1971年诺德林格(P．D．Noerdlinger)和佩托赛(R．Pertosian)讨论了在自重作用下星系的宇宙膨胀的影响，克富凯恩(J．Kevorkian)研究了具有慢变频率的－维振子通过共振区的问题。1970年阿克贝格(R．C．Ackerberg)和奥马利(R．E．O’Mallley)首次讨论了出现转向点的二阶微分方程的振动(A－O共振)，这个问题引起了许多学者的兴趣，1989年江福汝对这个问题给出了产生共振的必要条件。在轨道力学和飞行力学方面，1966年奈弗(A．H．Nayfeh)分析了具有小推力的人造卫星从圆形轨道上起飞的问题。1970年雷墨斯(R．V．Ramanth)研究了直升飞机的动力学问题。在等离子体物理方面，1971年纳瓦克(G．J．Lewak)讨论了等离子体中静电波的相互作用，德波洛瓦纳(M．Dobrowolny)和罗杰斯特(A．Rogister)分析了高β等离子体中的磁流体波的传播。在大气层科学方面，1971年林德詹(R．S．Lindzen)研究了赤道波通过切变的传波问题，1988年亨特(J．C．R．Hunt)、莱波维奇(S．Leibovich)和利查德斯(K．J．Richards)研究了低山对近地大气影响理论。在固体力学方面，早在1947年钱伟长就讨论了圆形薄板的大挠度问题，1965年莫特尔(M．P．Mortell)分析了在圆柱壳体上的行进波问题和壳体上的波的传播，1969年莫利努(L．Morino)研究了非线性翼段的颤振。1980年斯图西克(Л．C．Cpyшиk)研究了扁球壳稳定性问题。在流体力学方面，1971年玻利(K．K．Puri)研究了两个迭合流体的振动，米特切尔(C．E．Mitchell)研究了燃烧不稳定性问题，1978年范杜克(VanDyke)研究了管道内粘性流动，考虑了截面积缓慢变化、均匀加热等效应。1983年侯斯(F．A．Howes)研究了在粘性力、毛细力和重力作用下沿平面运动的定常单向薄层流的数学模型1985年海勃曼(R．Haberman)和孙(R．Sun)讨论了非线性弥散波的焦散问题，1989年兰德(B．E．Launder)讨论了湍流－扩散问题。随着大量实际问题的解决，反过来又促使奇异摄动在理论－的进一步发展。在常微分方程理论方面，1952年吉洪诺夫(A．H．Tихонов)讨论了一般非线性方程组的初值问题的退化定理，1954年布利斯(H．И．Бpищ)首先用微分不等式方法讨论了一个二阶微分方程的奇异摄动问题，1968年杰克森(L．K．Jacksan)详细地综述了这个方法，1978年侯斯利用这个方法研究了更广的问题，1969年章国华(K．W．Chang)把对角化技巧成功地应用于奇摄动问题，1970年奥马利(R．E．Jr．O’Malley)指出了一类非线性奇异摄动问题的内部不一致性，1971年霍本斯坦特(F．Hoppensteadt)讨论了一类带小参数微分方程解的性态，1972年瓦西里娃(A．Б．Bacилbeваю)和布图佐夫(Φ．Бyryэовв)研究了条件稳定方程的理论，内部过渡层理论和含小偏差变元的微分－差分方程，1973年杜尔(F．W．Dorr)、帕特(S．V．Parter)和夏宾(L．F．Shampine)把极值原理应用于奇异摄动问题，1988年凯雷(W．G．Kelley)研究了奇异摄动问题解的适定性，1989年周钦德，苗树梅研究了微分差分方程边值问题，1990年瓦思瓦斯(A．Wazwaz)讨论了一类二阶方程的两个转向点问题。在偏微分方程理论方面，1957年维西克(M．И．Вишик)和柳斯杰尔尼克(Λ、A．．Люстepник)综述了奇异摄动线性微分方程的边界层校正法，1975年德亚哥(E．H，de Jāger)讨论一类双曲型方程的奇摄动，1979年夏奥(G．C．Hsiao)和威纳切特(R．J．Weinacht)讨论了一个奇异摄动Cauchy问题，1984年兰德(G．S．Ladde)和兰克斯米克山姆(V．Lakshmikatham)讨论了非线性椭圆型方程组的边值问题，1985年尼西尤拉(Y．Nishiura)和富奇(H．Fujii)讨论了一类反应一扩散方程组的奇摄动解的稳定性定理，1989年布图佐夫和布契涅夫(B．Ю．Бyчнeв)讨论一类二阶抛物型方程的奇异摄动，1990年爱克豪斯(W．Eckhaus)和伽贝(M．Garbey)讨论了双曲型方程奇异摄动解的渐近分析，1991年林宗池讨论了极限方程为椭圆－抛物四阶椭圆型方程的奇异摄动。在数值理论方面，1969年伊林(A．M．Ilin)首先对常微分方程第一边值问题构造了指数型拟合差分格式，1980年杜纳(E．P．Doolna)，米勒(J．J．Miller)和许尔德斯(W．H．A．Schilders)全面系统地叙述了一阶常微分方程初值问题和二阶方程边值问题的指数型拟合差分解法，杜飞(D．J．Duffy)对一类抛物型方程奇异摄动问题研究了指数型拟合差分格式，1985年苏煜城用外推法于奇异摄动数值问题，1991年林鹏程研究了奇异摄动抛物型方程混合问题的差分解法，1982年雷哈尔特(H．J．Reinhardt)提出自适应网格加密有限元方法，巴布斯卡(I．Babuska)和苏姆扎克(W．G．Szymzak)对迎风有限元和指数型拟合有限元进行了误差分析，1984年尼基马(K．Niijima)和纽墨尔(M．Numer)利用Liouville-Green变换构造了一些高阶格式，1986年西希肯(G．1，Shishikin)利用非均匀网格解决了奇异摄动特征边界问题。随着科学技术的发展，各种非线性奇异摄动问题将会有更深入的研究，转向点问题仍为热门的研究方向，奇异摄动多重尺度方法将进一步扩展并越来越被运用，奇异摄动的主要理论研究对象将由常微分方程转为偏微分方程。【参考文献】：1 Wasow W. Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations. New York; Wiley & Sons, 19652 O'Malley R E. Introduction to Singular Perturbations. New York. Academic Press, 19743 Kevorkian J, et al. Perturbation Methods in Applied Mathematics. New York: Springer-Verlag, 19814 Nayfeh A H. Introduction to Perturbation Techniques.New York John Wiley &. Sons, 19815 Chang K W, et al. Theory and Applications. New York : Springer-Verlag ,19846 Lagertrom P A. Applied Mathematical Sciences 76. New York; Springer -Verlag, 19887 Maco B HAyKA, 1988,25(2) ;15～-23(安徽师范大学莫嘉琪教授撰) |
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