【太阳集和最佳逼近的特征】
拼译：sun sets and characterization of best approximation
设E是赋范线性空间，
，令
，
1961年，Garkavi对凸集M，给出刻划m0∈PMx的Kolmogorov型特征定理：
M凸：
，
满足‖f‖=1，f(x－m0)=‖x－m0‖，Ref(m－m0)≤0。对于非凸集，上述Kolmogorov型特征定理能否成立?要使Kolmogorov型特征定理成立，M应满足怎样的充要条件?为讨论最佳逼近的唯一性，1958年Efimov和Stechkin引入太阳集的概念如下：
，m∈PMxt，其中xt=m+t(x－m)。1969年Brosowski证得：定理B下列条件等价：(1)M是太阳集；(2)
，m0∈M有：
，
满足‖f‖=1，f(x－m0)=‖x－m0‖，Ref(m－m0)≤0。关于太阳集，有下述结论：(1)1．M是太阳集等价于
E，m0∈M，
，有m0∈P［m0，m］x，其中［m0，m］=｛mλ；mλ=m0+λ(m－m0)，λ∈［0，1］｝；(2)M是太阳集，m0是M对x的局部最佳逼近
；(3)M是光滑空间E中的存在性太阳集
凸；(4)M是严格凸空间E中的存在性太阳集
是Chebyshev集；(5)设X紧，E为实C(X)，M是C(X)中太阳集等价于下列条件之一；(i)M对x的局部最佳逼近必为最佳逼近，(ii)M有闭符号性质：
，m1∈M，及满足
(x)－m0(x)｜＞0的闭集
，则m0属于｛m；m∈M，［m(x)－m0(x)］［m1(x)－m0(x)］＞0，x∈A｝的闭包。将最佳逼近的目标由单元x换成E中有界集F，即为最佳同时逼近问题，令
m0∈PM(F)称为M对F的最佳同时逼近。
对M是凸集的情形，1982年Freilich和Mclaughlin证得Kolmogorov型特征定理：定理F－M M凸，
，存在L∈extk满足
。其中符号意义如下：设
，对E*中闭单位球B*，赋以σ(B*，G)拓扑：
，
。K取B*的子集，满足：(1)K是σ(K，G)紧集；(2)
，m∈M，有
为K上函数，定义如下：
其中U(L)为L的邻域全体。
Freilich和Mclaughlin只对实空间E加以证明，复空间E的证明类似。我们举出反例，指出定理F－M中L∈extK是错误的，应改正为L∈K．进一步，对于非凸集，我们于1987年得到定理X－L 下列条件等价：(1)M是同时太阳集：
有界集F及m0∈M，有
，m0∈PM(Ft)，其中Ft=｛fi；fi=m0+t(f－m0)，f∈F｝(2)
有界集F，
，存在L∈K，满足
，ReL(m－m0)≤0。再讨论M对｛fi｝的P阶联合最佳逼近问题，设P≥1，数列｛λi｝满足λi≥0，
，对任何满足
的E中序列｛fi｝，求m∈M，使
最小。在讨论中，我们固定｛λi｝，并令
并引入P阶联合太阳集的概念如下：
，其中fi，t=m0+t(fi－m0)。
满足
，其中Mfi－m0=｛ψ；ψ∈E*‖ψ‖=1，ψ(fi－m0)=‖fi－m0‖｝
(3)
，
，
，
满足
其中ε(Mfi－m0)表示Mfi－m0的端点全体。
最后，讨论更一般的非线性优化问题，设E为线性拓扑空间，
，ψ(x)为E上连续凸泛函，讨论优化问题：
。记
并引入ψ太阳概念如下：记
，若由m0∈PM(ψ)可推出m0PCm0(M)(ψ)，则称M为ψ太阳。
，m0∈M，则下列条件等价：(1)M是ψ太阳(2)
，
满足Ref(m－m0)≥0，其中
(3)
，
满足Ref(m－m0)≥0。从特殊的优化：
到一般非线性优化
，最优解的特征的研究已有局部展开，对ψ(m)不凸、不光滑的情形，结果较少，今后可望得到进展。ψ(m)从数值到向量值，从数值优化到多目标优化也是优化问题研究深化的重大一步，对非线性多目标优化问题的研究目前局限于有限维，对于一般情形，各种意义下的最优解的特征刻划是今后值得研究的课题。【参考文献】：1 EfimovN V.StechkinSB. D A N SSSR, 1958;118:17～192 Garkavi A L. Uspekhi Mat Nauk ,1961)16(4) :141～1453 Brosowski B. Abstract spaces and approximation. ISNA 10 Birkhauser Verlag, 1969,140～1594 Freilich J H, Mclaughlin H W. J A T, 1982,34:146～1585 徐士英，等．数学学报，1987，30(4)∶528～535(浙江师范大学徐士英教授撰)