【度量投影理论】
拼译：theory of metic projectiion
度量投影PG即度量空间中点到一个集G的近距映射。1974年I．Singer确立此名，分单值与集值两大类。早在1960年Cheney和Phelps等就已对单值的PG惯称近距映射(proximiity map)。除最基本性质，如齐性、幂等性、拟可加性PG(x+g)=g+PGx(g∈G)等外，几个重大问题乃PG连续性、Lip性、可加性、微分性、界‖PG‖、集值映射1．s，c性、u，s，c性、连续选等。连续性方面1964年Singer首先指出赋范空间中，对有限维车贝子空间或度量空间中近紧车贝集G，则PG连续于全空间，近紧一词是1961年Efimov和Stechkin引入的。添进空间条件方面，早在1958年Ky Fan和I．Glicksberg证出自反、严凸、(H)性空间(记(Rx)∩(R)∩(H))中闭凸集G，则PG连续，G只设是车贝集。要使PG连续需其他什么条件?1968年Wulbert知B．空间中言，G必须囿连通，并分析了Ky Fan三条件的作用。潘文熙1991年获(Rx)∩(H)的丰富多充要条件，联系了近紧、齿性、强曝性等。1969年V．Klee指出(H)仍非必要的，E．V．Osman70年代以L．P．Vlasov系列研究确立了Osman空间，是使凡闭凸集G，PG单位连续的空间本征，它真正区别于(Rx)∩(R)∩(H)空间，及(Rx)∩(R)空间。1967年Vlasov又引入CLUR空间，1971～1973年Vlasov和Osman研究知CLUR中车贝集G，则PG连续性等价于G近紧性。PG可加性或收缩性方面，1958年Hirschfeld创立几个定理，其中若n维(1≤n≤dimX－2)的任一子空间G都是车贝的，且PG可加，则导致X等价于内积空间。可加性换为收缩性‖ PGx‖≤‖x‖亦如此。这开创了用PG性质描述内积空间本征的先例。此方面前景广阔。PGLip性以Freud定理为基础，反命题即PG局Lip性何时推得强唯一性呢?1984年M．Bartelt和D．Schmidt就C(Q)中有限维G建立了这方面命题，另外H．rschfeld型命题乃1971年Lindenstrauss和Tzafriri建立的：(Rx)∩(R)空间(维数≥3)中若任一闭子空间G都有PG匀Lip，则X同构于内积空间。且二氏指出PG匀Lip性却非内积空间所独有。关于局Lip常数λ能有多大呢?1982年S．Bridge获得C［0，1］中有限维Haar子空间G时的λ估计式。
80年代PGLip性已发展到量性化研究，引入PG的连续模
。这方面以1981年G．Godini，1982年P．Szeptyski，1983年T．Abatzoglu的工作为代表。关于PG的微分性质，1968年R．Holmes和B．Kripke详尽推出Lp(μ)(1＜p＜2)中有限维子空间G时PG微分公式及存在性。G为闭凸集情形，1969年J．B．Kruskal给出了R3中闭凸集G例，使单边G微分都不存在，但PG连续。这方面，深入要用度规泛涵pG(x)为工具。对Rn，Hilbert空间已有不少可微性结果，如E．Asplund1973年获知Rn中闭集G，则PGa．e．F可微。1982年S，Fitzpatrick、R．R．Phelps指出Hilbert空间中，G闭凸则PG是
的F导数。1984年Phelps考虑某些B，空间，1979年Abatzoglu考虑n维赋范空间范数在一定可微条件下对闭集G，PG的F可微性。关于d(x，G)的可微性，继1981年Klee有1989年J．R．Giles获一定结果。对Hilbert空间中C2流形G，研究PG的有1975年C．Chui，G．Phillips和P．Smith，1976年J．M．Wolfe及1980年Abatzoglu等。集值度量投影研究重点与单值情形不同，首先是PG本身何时1．s．c，u．s．c的?若二者俱备则是集值连续的，更若单值回复单值PG连续性。更重大问题是何时有某种性质的单值选，例如连续选。1968年J．Blatter，P．Morris和D．Wulbert指出度量空间中，G是近紧集便有u．s．c，但只设G可近集却不真。Osman1970年指出G设可近，欲PGu．s．c，必先满足d(xn－x0，G)→0，
则xn→x0。判别1，s，c，较难。1973年B．Brosowski和R．Weg mann指出即使G是有限维子空间亦不保证1．s．c，为此1964年A．L．Brown所引入一种(P)性空间(比严凸性弱)却等价于任有限维G(或只要任一维G)Pc1．s．c，且成立时PG有连续选，好在Co，L1(T，μ)，T≠有限原子和都是(P)性空间。有限维多角空间等亦然。1．s．c性与连续选关系密切，最值得注意是对n维子空间G何时PG有连续选，1980年F．Deutsch和P．Kenderov引入n－1．s．c性。1987年S．D．Fisher证明了对n维子空间G．欲PG有连续选等价于PG(n+1)－1．s．c的。1980年Deutsch和Kenderov指出G是殆车贝集时，PG有连续选等价于PG2－L．s．c的。系统研究连续选的基础工具是1956年E．Michael的连续选定理；由仿紧空间到B．空间的l．s．c集值映射Φ，只要每点像是非空闭凸集则Φ有连续选。1980年H．Kruger指出G是可近子空间，PG0．s．c，则PG有连续选。而PG有零性连续选则必须PGL，s，c。1964年Brown始引入CSF空间，即对有限维G．PG有连续选者。
，但(CSF)本征尚未解决。实例空间C(Q)中PG连续研究最热门。1968年Blatter、Morris和Wulbert获深刻结果，描述了PGL．s．c以及u．s．c及零点集Z(PGf)构造的关系，所设G是伪车贝子空间，即任f，PGf是有限维非空的。由此C［0，1］中的有限维空间G若非车贝的，则PG也不可能1．s．cC(Q)中最简单一维子空间G=［g0］，PG有连续选的本征于1969年A．J．Lazar，Morris和Wulbert解决，即Z(g0)的边界点只能≤1个，且在这个边界点的某一邻域上g0(t)定号，故最初曾猜想条件单纯取决于g0的零点集，实际却还取决于g0(t)定号与否。G是有限维情形，多年来一直为人所关注，但未彻底解决，只分别获一些必要与充分条件，比如1977年G．Nürnberger设G有限维，PG就有内径连续选。一方面1980年他又证实PG有连续选必须G是弱Haar子空间，这就大量联系R．Zielke和D．Zwick的工作。1971年Brown，1978和1982年Nürnberger和M．Sommer的研究涉及连续选唯一性问题。1990年Blatter全面探讨于C(Q)中有限维G时PG连续选问题。其他实例空间方面，1969年对L1(μ)无原子、G有限维指出PG不存在连续选，1968年Morris就有限余维G获PG有连续选一些充要条件。1985年J．Reif研究了Co，l1，l∞空间情形。1988年Deutsch、V．Indumathi和K．Schnatz对L1(μ)中一维G=［g0］欲PG有连续选等价于g0(t)合Lazar条件。而l1情形是早些Lazar1969年解决的。Lip选与线性选也有不少研究。1978年E，Behrend，1979年D．T．Yost研究了B．空间中闭子空间G时PGLip选。1989年李武(Li Wu)、Deutsch和S．H．Park深入研究集值Lip性与Lip选关系。这三人1991年对G0(t)中f｜：=0(S紧)的闭伊M研究PG有线性选等价于每个g∈C(S)的保范，Tietze展拓为f∈c0(T)都有线性选，而Lip选亦类似。1990年V．A．Ubhaya究用凸函，拟凸函佳逼的Lip选。1982和1987年Deutsch对赋范空间中有限维子空间G，PG有连续选，或可近子空间G，PG有线性选的本征条件，用了
描述，1985年P．K．Lin对c0(T)中有限维子空间G，找到PG有线性选充要条件，也研究Lp时PG线性情形，1991年宋文华继续深入研究G是可近余维n情形。逼近集G变动时PG的研究，普遍用Hausdorff距离h(G，G′)。1982年P．Szeptyskin和T．Vleck就Hilbert空间，闭凸G，G′建立了‖PGx－P′Gx‖≤［d(x，G)+d(x，G′)］h(G，G′)。潘文熙推广到匀凸空间获完善公式，若偏离度Δ(G′，G)≤d(x，G)且Δ(G，G′)≤d(x′，G′)，则‖PGx－P′Gx‖≤d(x，G)δ－1
，δ－1是凸模逆函，其他情形估计上界为h(G，G′)。另一研究方式用闭凸集列Gn的Mosco极限集，(M，氏1969年始)表达了何时PGnx→PGx或
。有1984年M．Tsukada和1987～1990年G．Beer的系列工作。改范数后的PG问题，1989年Brown首提出到n维G投影P能改等价范数使P成为度量投影的P特征是什么。先考虑改范数后
。1991年L．Vesely考虑了自反空间中闭子空间G，找到充要条件。对可分子空间或余维m≥2的G也进行了讨论，这与空间强曝露点有关。改范数研究才刚刚开始。【参考文献】：1 Ky Fan,Glicksberg. Duke MJ, 1958.25:553～5682 Singer I. Rev Roum M,Pures ef Appl. 1964,9:167～1773 Singer I. SIAM ,1974,1～954 潘文熙，全国第3届逼近论会议论文集，1983，117～1295 Deutsch F．JAT，1989，58∶297～3146 宋文华．JAT，1991，66∶53～577 Blatter J. Unique continuous selections for metric projec-tions of C (X) onto finite - dimensional vector spaces, 1990,61:194～2218 Vesely L. JAT, 1991I66I72～82(暨南大学潘文熙教授撰)