【Hadamard矩阵猜想】
拼译：Hadamard
若一个n阶矩阵Hn=(hij)的元素hij取值为+1或－1，且满足正交性条件
那么矩阵Hn叫做n阶Hadamard矩阵，简称为H－矩阵，条件(1)可表为
HnHnT=nIn (2)
其中
是Hn的转置，In是n阶单位矩阵。
｜detA｜=nn／2 (3)
时，便是Hadamard矩阵。Hadamard矩阵的名称就是由此产生的。然而，把Hadamard矩作为正交矩阵来研究，是早远在它获得“Hadamard矩阵”这个名字以前的1867年，这是由Sylvester开始的。
由上述3个等价条件(1)、(2)和(3)知，一个H－矩阵Hn经过等价变换：行换序、列换序、对某些列的所有元素乘以－1、对某些行的所有元素乘以－1、转置，产生的矩陈
仍然是H－矩阵。Hadamard矩阵，除了在信息论、统计学和电子技术等方面有广泛的应用外，作为数学本身的问题，也是重要的和有趣的。最简单的H－矩是一阶和二阶H－矩：H1=(1)，H2=(
)。然而，一个阶数大于二的H－矩阵，它的阶数一定是4的倍数。但是，一个数是4的倍数，是否存在一个H－矩阵其阶数恰好是这个数?这是一个尚未能解决的难题，人们猜想：若n≡0(mod4)那么存在n阶H－矩阵。这就是人们常说的著名的Hadamard矩阵猜想。1867年Sylvester从二阶H－矩H2开始，用递归构作的方法得到一族2k阶H－矩阵：
这族H－矩通常叫做sylvester扩大。从此，开始了Hadamard矩阵构作方法的研究。最简单的构作方法是由两个已知H－矩阵的Kronecker积来构作另一个H－矩阵。设An=(aij)和Bm=(bij)分别是n阶和m阶H－矩阵。那么An与Bm的Kronecker积
An×Bm=(aijBm)
也是一个mn阶H－矩，因而，Kronecker积的方法拓广了Sylevster扩大。
因为4n阶H－矩阵和二阶H－矩阵的kronecker积为8n阶H－矩阵，所以，构作n为奇数的4n阶H－矩阵，是证实Hadamard矩阵猜想的关键。1933年paley用二次剩余法对4n－1为素数幂的情形和2n－1为素数幂的情形构作了4n阶H－矩阵。设p为素数，且4n－1=pr，r为正整数。并设a0，a1，…，
为GF(pr)的元素，使得a0=0和
，i=1，2，…，pr－1，在GF(pr)上定义特征函数：
于是，构造矩阵Q=(qij)，qij=x(ai－aj)，又令
此处e是元素为1的pr维列向量。因此，
是4n阶H－矩，又若2n－1=pr，r为正整数，按照上述方法构造矩阵Q，且令
从而，
是4n阶H－矩阵。
是4n阶H－矩阵，并把形如H4n的H－矩阵叫做Williamson型H－矩阵。因此，利用这个方法，对于逃过paly的网眼的阶数92，116，156，172，188，236，……，Williamson构作了其中172阶H－矩阵。又因为Williamson方法适合用电子计算机探索，1961年，Baumert借助电子计算机找出了92阶H－矩阵。此后不久，116阶H－矩阵也得到了。1965年，Baumert和Hall证明：若4n阶Williamson型H－矩阵存在，则必存在12n阶H矩阵。从而，156阶H－矩阵也相继得到。
1967年，Goethals和Seidel撤掉Williamson方法中要求A、B、C、D的对称性的限制，给出了构作H－矩阵的方法。设A、B、C、D是具有元素为+1和－1的n阶循环矩阵。若条件AAT+BBT+CCT+DDT=4nIn
成立，那么
阵，其中
n阶矩阵。并把上述矩阵A、B、C、D称为n阶Williamson矩阵。从此以后的研究越来越趋精细化。精细化的代表人物Turyn用各种手段得到188阶(1973年)和236阶(1974年)的H－矩阵。在某种程度上使Turyn的方法系统化，便是T－矩阵。wallis和cooper把4个n阶Williamson矩阵W1，W2，W3，W4和四个m阶T－矩阵A、B、C、D组合
X=A×W1+B×W2+C×W3+D×W4 Y=－A×W2+B×W1－C×W4+D×W3 Z=－A×W3+B×W4+C×W1－D×W2 V=－A×W4－B×W3+C×W2+D×W1便得4个mn阶Williamson矩阵。从而，达到构作更高阶H矩阵的目的。1985年，泽出和江构作出特殊的67阶H－矩阵。
Williamson利用4个n阶对称循环矩阵构作4n阶Williamson型H－矩阵。然而，对任意正奇数n，是否存在4n阶Williamson型H－矩阵?这也是一个尚未解决的问题，虽然，20世纪70年代turyn和Whiteman先后对一些特殊的正奇数n，证明Williamson型H－矩阵存在，离这个问题的彻底解决还相距甚远。Hadamard矩阵从作为正交矩阵的研究开始，已有100多年历史，但至今仍然存在着许多尚未解决的问题，归结起来有如下猜想：(1)对任意正整数n，存在4n阶Hadamard矩阵；(2)对任意正奇数n，存在4n阶Williamson型Hadamard矩阵；(3)由等价变换可把一个Hadamard矩阵变换为对称的和斜对称的Hadamard矩阵。在这些猜想中，猜想(1)是最根本的，也是将来的热点问题，要证明这一猜想，就得表明4n阶Hadamard矩阵的存在性。这需要做两方面的工作，一是研究一种崭新的、带有普遍性的构作方法；二是找出一种新途径，把已知的Hadamard矩阵或有关知识加以推广，使能造出新的Hadamard矩阵。设Hn=(hij)是n阶H－矩阵。
是n元集合，定义s上的子集系ы=｛s1，…，sn｝，使得hij=1，则j∈si，且满足条件：
其中si△sj表示集合Si与Sj的对称差，并称ы为Hn的关联子集系。显然，若存在n阶H一矩阵，则必存在Hn的关联子集系。反之亦然。从而，把Hadamard矩阵的研究转化为Hadamard矩阵关联子集系的研究。因此，如果对集合s再加一些限制，可能会使Hadamard矩阵的研究有较大的进展。
【参考文献】：1 Sylvester J J. phil Mag, 1867,34(4) :461～4752 Paley R E A C. J Math phys,1933,12:311～3203 Williaman J. Duke Math J, 1944,11:65～814 Baumert L D. Math of Comp, 1965,19:442～4475 Turyn R J. J combinatorial Th, ser A,1972,12:319～3216 Whiteman A L. J Comb th ser,1973,14:334～3407 刘璋温．数学的实践与认识，1978，4∶55～578 黄国泰．数学的实践与认识，1988，4∶68～70(海南师范学院黄国泰教授撰)