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单词 圆(球)素几何学
释义

【圆(球)素几何学】
 

拼译:geometry of circles and spheres
 

圆(球)素几何学,是在平面上以有定向的圆为基本元素,在空间中以有定向的球面为基本元素的几何学。它不同于以点为基本元素的点素几何学,或以(无向)直线为基本元素的线素几何学。20世纪40年代初,姜立夫采用二阶对称方阵代表拉(Laguerre)氏圆(含有向圆和无向点圆).用二阶埃尔米特(Hermite)方阵代表拉氏球(含有向球和无向点球).进而用满足辛(Symplectic)条件的2×4矩阵表示李(Lie)氏圆(含拉氏圆、有向直线和无穷远点圆)和李氏球(含拉氏球、有向平面和无穷远点球)。这样,分别对应于点素平面和点素空间的射影群、仿射群和度量群,圆素平面和球素空间的变换群就可以用辛群及其子群表示。于是经典圆(球)素几何获得新面貌,并有广阔的发展前景。华罗庚由此发展成矩阵几何学。

60年代初,姜立夫提出他的全部计划如下:

第1阶段:对称方阵与埃尔米特方阵(圆与球,超圆与超球),辛群变换论[麦比乌斯Möbius)群、拉氏群、李氏群],用方阵代数来研讨辛群几何学。

第2阶段:辛群曲线论与曲面论(圆列、圆汇,球列、球汇、球丛),用活动标架法来发展辛群几何学(伪欧氏空间的微分几何)。

第3阶段:辛群联络空间(麦氏联络空间、拉氏联络空间、李氏联络空间),用外微分法来推广黎曼几何与非黎曼几何。

早在1944年,姜立夫给出圆素和球素仿射变换的分类及其不变圆和球。1954年,姜立夫在中山大学科学讨论会上作了“圆素几何学的新面貌”的报告,用方阵代数完整而系统地建立了矩阵圆(球)素几何学,展现了第一阶段研究的重要而带基础性的成果。1956年,姜立夫还指导黄树棠利用拉氏圆(球)素仿射辛反演解决了古典的阿波罗尼(Apollonius)问题和它的推广。

1959年起,姜立夫结合研读嘉当(E.Cartan)的专著,开始利用活动标架法来研究一般拉氏圆列的微分性质。何少辉利用伪循环活动标架,得到抛物型圆列的微分方程和弗朗内(F.Frenet)公式,以及这类圆列的一系列几何性质。黄树棠继而改用伪正交活动标架,得到椭圆型和双曲型圆列的相应的结果,从而对一般圆列的微分分类和属性获得了比较全面而系统的了解。后一课题的研究延续到1985年,在吴大任的协助下告一段落。

60年代初,姜立夫孜孜不倦地用矩阵理论充实辛群解析几何的基础工作。他对圆素辛变换进行分类,并确定每类变换的不变圆集。1985~1992年,黄树棠和杨淦在吴大任协助下,对圆(球)素辛反演作出全面系统的分类,并获得每类的不变圆(球)集。还有许多基础性研究值得做。

如果把圆素平面上的拉氏圆看作三维仿射空间的点(z11,z12,z22)或(ρ,ξ,η),则圆素平面上的圆列和圆汇依次对应于点素空间的曲线和曲面。又若取圆素平面上的度量det(z1-z2)=(ρ1-ρ2)2-(ξ1-ξ2)2-(η1-η2)2,而把看作点素空间中两点“距离”的话,这便属于三维闵可夫斯基(Minkowski)空间的伪欧氏(Euclid)几何学。同理,球素几何学对应于四维闵氏空间的伪欧氏几何学,它实质上是狭义相对论的另一表达形式。

1989年,黄树棠协助郑敏珍研究了三维闵氏几何,获得了拉氏圆素几何关于圆矢量,线性圆列和线性圆汇,以及圆素仿射辛变换的一些基本性质。有关的研究尚待深入下去。

【参考文献】:

1 Coolidge J L.A treatise on the circle and the sphere,1916,3~10

2 Blaschke W.Differentialgeometrie der Kreise und Kugeln,1929,4~6

3 姜立夫.科学记录,1942,1(45)∶257~262

4 华罗庚.Trans.Amer Math Soc,1945,57∶441~490;1947,61∶193~255

5 黄树棠.中山大学学报(自然科学版),1956,2∶21~33

6 黄树棠.中山大学学报(自然科学论丛),1984,104~122

7 杨淦.南开大学学报(自然科学版),1987,1∶20~35;

8 吴大任编.姜立夫教授(1890-1978)纪念册.天津:南开大学出版社,1989,54~74

9 郑敏珍.漳州师范学院学报,1989

10 黄树棠.南开大学学报(自然科学版),1986~1992

(中山大学黄树棠副教授撰;杨淦审)

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