单词 | 圆(球)素几何学 |
释义 | 【圆(球)素几何学】 拼译:geometry of circles and spheres 圆(球)素几何学,是在平面上以有定向的圆为基本元素,在空间中以有定向的球面为基本元素的几何学。它不同于以点为基本元素的点素几何学,或以(无向)直线为基本元素的线素几何学。20世纪40年代初,姜立夫采用二阶对称方阵代表拉(Laguerre)氏圆(含有向圆和无向点圆).用二阶埃尔米特(Hermite)方阵代表拉氏球(含有向球和无向点球).进而用满足辛(Symplectic)条件的2×4矩阵表示李(Lie)氏圆(含拉氏圆、有向直线和无穷远点圆)和李氏球(含拉氏球、有向平面和无穷远点球)。这样,分别对应于点素平面和点素空间的射影群、仿射群和度量群,圆素平面和球素空间的变换群就可以用辛群及其子群表示。于是经典圆(球)素几何获得新面貌,并有广阔的发展前景。华罗庚由此发展成矩阵几何学。 60年代初,姜立夫提出他的全部计划如下:第1阶段:对称方阵与埃尔米特方阵(圆与球,超圆与超球),辛群变换论[麦比乌斯Möbius)群、拉氏群、李氏群],用方阵代数来研讨辛群几何学。第2阶段:辛群曲线论与曲面论(圆列、圆汇,球列、球汇、球丛),用活动标架法来发展辛群几何学(伪欧氏空间的微分几何)。第3阶段:辛群联络空间(麦氏联络空间、拉氏联络空间、李氏联络空间),用外微分法来推广黎曼几何与非黎曼几何。早在1944年,姜立夫给出圆素和球素仿射变换的分类及其不变圆和球。1954年,姜立夫在中山大学科学讨论会上作了“圆素几何学的新面貌”的报告,用方阵代数完整而系统地建立了矩阵圆(球)素几何学,展现了第一阶段研究的重要而带基础性的成果。1956年,姜立夫还指导黄树棠利用拉氏圆(球)素仿射辛反演解决了古典的阿波罗尼(Apollonius)问题和它的推广。1959年起,姜立夫结合研读嘉当(E.Cartan)的专著,开始利用活动标架法来研究一般拉氏圆列的微分性质。何少辉利用伪循环活动标架,得到抛物型圆列的微分方程和弗朗内(F.Frenet)公式,以及这类圆列的一系列几何性质。黄树棠继而改用伪正交活动标架,得到椭圆型和双曲型圆列的相应的结果,从而对一般圆列的微分分类和属性获得了比较全面而系统的了解。后一课题的研究延续到1985年,在吴大任的协助下告一段落。60年代初,姜立夫孜孜不倦地用矩阵理论充实辛群解析几何的基础工作。他对圆素辛变换进行分类,并确定每类变换的不变圆集。1985~1992年,黄树棠和杨淦在吴大任协助下,对圆(球)素辛反演作出全面系统的分类,并获得每类的不变圆(球)集。还有许多基础性研究值得做。如果把圆素平面上的拉氏圆![]() ![]() (中山大学黄树棠副教授撰;杨淦审) |
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