“Bers空间中之逼近”的概念、定义、翻译、参考文献-科学参考

单词

Bers空间中之逼近

释义

【Bers空间中之逼近】

拼译：approximations in Bers spaces

设D是扩充复平面C上其边界至少含2个点的单连通区域，从而D共形等价于单位圆盘。不妨令ψ是就范于ψ(ξ₀)=0，ψ′(ξ₀)＞0的D到△上的共形映射，而ψ^－1为其逆映射，此处ξ₀∈D是固定一点，置λD(ξ)｜dξ｜为D上的Poincare度量。若用A(1)表示D上的解析函数之全体，那么时于p∈(0，∞)我们可用Poincaré度量定义D上的Bers空间(D)，它是由满足＜∞的函数f∈A(D)组成的完备的线性空间。，q∈［2，∞)首先是由L．Bers在1965年引入并开始研究的，它是著名的Hardy空间H¹(△)的推广。后来，数学家把，q∈［2，∞)拓广到更一般的情形亦即，p∈(0，∞)，q∈(0，∞)于是也就统称为Bers空间。Bers中的逼近论主要是指：Bers空间中多项式类的完备性；Bers空间中的多项式之最佳逼近问题；Bres空间中的有理函数之逼近各分支在实际中，如在物理学的电场理论中，都有重要的意义。以下主要从3个方面来综述。

(1)Bres空间中多项式类的完备性。设

及

。不难知道tD∈［1，2］而I(1)=(1，∞)及I(2)=［2，∞)。这2个量是J．Burbea于1977年引进的。它在多项式类于Bres空间中之完备性研究中起着很重要的作用。1934年，А．И．Mapкyшeвиy与O．J．Farell独立地证明：若D是Caratheodory区域，则多项式类在

，p∈(0，∞)中是完备的。接着，在1966年和1969年L．Bers和M．J．Knopp分别将他们的结果推广到D为Jordan区域时的

，q∈［2，∞)上去了。又若对区域D的条件加强，即当D是CмиpHов区域时，T．A．Metzger与M．Sheingorn在1973年证实了多项式类在

，q∈(1，∞)中是完备的。其实，M．Sheingorn对一类特殊的Jordan区域——早被J．Earle与A．Marden定义，证明了上述事实。如

是可求长的Jordan曲线，那么T．A．Metzger就

和q∈(1，∞)分别于1973年和1974年证明了多项式类在

中完备。进而，如(ψ－1)′(△)是C上可以忽略一个正对数容量集，那么就q∈I(t_D)多项式类还在

中完备。从上面的若干结论看出，一旦限制区域D的条件愈多且要使多项式类在

中完备，那么对q的限制也就愈少。于是，自然会问：是否可以同时减弱D及q的条件使多项式类仍在

中甚至在

中完备呢?J．Burbea做了这方面的尝试。他在1977年获得如下结果：当D是Jordan区域且ITD=1时，那么多项式类在

中完备，其中p∈(0，∞)且q∈I(tD)。同年，他对D是Caratheodory区域得到相同的结果。后来J．Burbea在J．Brennan的提醒下于1978年考虑了D为非Cartheodory区域时多项式类在

中之完备性，得到类似的结论。

(2)Bers空间中多项式之最佳逼近。换句话是，多项式类在

中的逼近阶估计及其逆定理之问题。为此，对

及δ＞0先令

，ω(δ，f)=sup｛‖f(*+h)－f‖_{(p，q，△)}：｜h｜≤δ｝并规定

。其次，若用

表示所有次数不超过n的代数多项式Q_n组成的集合，则置

。从1984年到1989年，沈燮昌、邢富冲及苏兆龙研究了

，p∈(0，∞)，q∈(1，∞)中的多项式类之最佳逼近问题，他们3人获得：

，进一步，若

则ρ⁽ⁿ⁾(f)≤

。这儿，C_p＞0是一仅依赖于p的常数，又当p∈［1，∞)时，有

，C＞0为一常数。同时，他们又给出上述结论的逆命题。此外，1987年，沈燮昌、邢富冲与张有光获得了

，p∈(0，1)，q∈(1，∞)中的Hardy-Littlewood型不等式并用于逼近。就一般区域D，钟乐凡用Faber变换于1988年证明了：若

是光滑曲线且其切线与正实轴的夹角满足Lipα，α∈(0，1)条件，那么，就

，q∈(1，∞)有

当且仅当

。次年，钟乐凡利用邢富冲和苏兆龙之定理又给出了当D是含原点的Lipschitz区域时

在

，p∈(1，∞)，q∈(1，∞)中的逼近阶。

(3)Bers空间中的有理函数之逼近，这类问题通常比前两类难得处理。首先，L．Bers在1965年证明如下事实：若

且

是Ample的，则对任意的

都存在极点只在∧上的有理函数R_n使得

。特别考虑形如Sn

，

的有理函数在

中的逼近问题是很有意思的，因为1／(ξ－ξ_k)可以看成点ξ_k处有单位电子引起的复电场。1973年，C．K．Chui证明了：若D是Jordan区域且

可求长，则

，q∈(2，∞)可被形如S_n(ξ)的有理函数逼近，即

。1972年，D．J．Newman指出q∈(2，∞)是必不可少的，他还指出：当q∈(1，2］时，

，在

中不可能被形如S_n的函数逼近。一般地，C．K．Chui与沈燮昌合作，在q∈(2，∞)下，对

加上一此光滑条件：

，ε＞0，获得了S_n在

中的逼近速度，亦即E_n，q(S)=sup｛inf｛‖f－S_n‖_(1，q，D)∶s_{_n}｝：S_α｝=0(1／n^q－2)或O，此处

。更深入一步，他俩还得到f具有高阶导数时的逼近阶的精确估计。再者，对于给定极点在区域外部的有理函数在Bers空间中的逼近问题，1987年，先由沈燮昌同吴志坚合作获得：设

且s_j为α_j在｛α_k｝i中出现的次数，若

，ε＞0，β∈R¹，则对

，p∈(1，∞)，q∈(1，∞)存在

使得

当且仅当

α_j｜)=∞进而，若不假设

位于上述角形区域，则为了实现上述逼近，就只须将

改成

即可。到了1988年，C．K．Chui和沈燮昌把沈－吴之结果推广到△上的比Bers空间更为广泛的空间Ap(φ)，p∈(1，∞)上去了。最后，肖杰于1990年研究了再生核型有理函数序列在A^p(ψ)，p∈［1，∞)上去了。最后，肖杰于1990年研究了再生核型的有理函数序列在A^p(φ)，p∈［1，∞)中的逼近，而相应于

，p∈(1，∞)，q∈(1，∞)中的结果分别由S．Axler、D．H．Luecking和R．Rochkerg等人在1980～1986年之间获得。沈燮昌和肖杰又把肖杰的结果推广到一般的Bers空间

，p∈(1，∞)，中去了。

以上是自20世纪60年代以来关于Bers空间中各类逼近问题的一个基本又是主要的概述。研究这些问题的数学家主要是采用实分析、复分析、调和分析、泛函分析、函数构造逼近及数值计算等方法进行讨论的。其实，在这一领域还存在大量的问题值得研讨。(1)对于不同特征的区域，究竟赋以什么度量性的充要条件才能使多项式类在