| 单词 | 建筑结构中的微分方程 |
| 释义 | 【建筑结构中的微分方程】 拼译：differential equation used in constructional structures 建筑结构主要指建筑物中能承受荷载、起骨架作用的体系，而建筑结构中的微分方程是一种能够揭示该体系受力本质的数学表达式。这种数学表达式的建立与求解，在建筑结构设计中起着指导作用，随着科学的进步，这种指导作用越来越重要。 1744年欧拉(L．Euler)建立了弹性直杆变位曲线的微分方程，详细研究了方程的解，将牛顿的微积分直接应用于建筑结构构件的受力分析之中，为求细长柱的临界荷载奠定了理论基础。弹性杆件的静力与稳定分析，其数学模型一般可归结为常微分方程。弹性薄板、薄壳的静力与稳定分析以及实体结构分析，一般可归结为偏微分方程。1811年拉格朗日(J．L．Lagrange)第1次推出矩形薄平板弯曲平衡的四阶偏微分方程表达式。1883年以前圣维南(A．J．C．B．de Saint-Venant)就已给出了与矩形薄板稳定有关的偏微分方程。薄壳无矩理论可归结为四阶偏微分方程，而薄壳有矩理论一般要形成八阶偏微方程。建立在牛顿第二定律或建立在1743年达朗伯(J．R．d’Alembett)原理基础上的结构动力分析，特别是建筑结构抗震分析，其中凡能简化为质点或刚片体系的，其数学模型均可归结为常微分方程或常微分方程组，如单自由度体系与多自由度体系的自由振动、阻尼振动与强迫振动等。然而，即使作为无限自由度的一维杆件，由于增加了时间变量，其动力分析也都要归结为偏微分方程。在计算机出现之前的200多年中，人们研究了各种求解微分方程的有效方法。为建筑结构工程技术人员所熟悉的有由欧拉系统研究的n阶常系数线性齐次常微分方程的完整解、泰勒级数解法、马克劳林(Colin Maclaurin)级数解法、傅里叶(J．B．J．Fourier)级数法、差分解法等。至于微分方程变分解法中的直接法，如瑞利－里兹法、伽辽金(Бoриc Григoръeвич Гaлёркин)法、最小二乘法以及微分方程的复变函数解法等更为力学工作者所熟悉为了抵御风力特别是地震力的作用，高层建筑由框架结构向框－剪结构以及剪力墙结构发展，进一步又向框筒、筒中筒以至束简结构发展。通过力学中的变分原理，将高层建筑结构的受力分析转化成特别适合于计算机解算的线性方程组，能够迅速得出各种具体实用的计算结果。与上机计算并行，以各种连续假设为基础，通过建立并求解微分方程的手算法也一直在发展着。从1964年开始罗斯曼(R．Rosman)等在框－剪与剪力墙结构连续化分析方面作了许多工作。框剪结构协同工作分析中其一是采取框架和剪力墙间链杆(或连系梁)连续化假设，建立以水平位移为未知函数的四阶常系数线性非齐次常微分方程，其二是建立以剪力墙转角为未知函数的二阶常系数线性非齐次常微分方程；两种方程均可求得解析解，这些解答制成图表后直接为设计人员使用，双肢剪力墙采取连梁连续化后，根据力法可以建立以连梁对墙肢的约束弯矩为未知函数的二阶常系数线性非齐次常微分方程，解答以数据表格形式给出。多肢墙具有类似的常微分方程。1986年傅学怡用类似于双肢墙连续化方法的数学模式分析了现浇楼梯对竖向框架侧移的约束影响。1989年刘开国考虑了柱与剪力墙轴向变形的影响，在框架与联肢剪力墙协同工作中建立了以框架剪力为未知函数的四阶常系数非齐次常微分方程，通过变分的方法得到了解析解。1991年库尔(A．Coull)等在连续化方法中组成以双肢墙轴力为未知函数的二阶常系数线性非齐次常微分方程，处理了加劲的双肢剪力墙。1984年朱幼麟进一步研究的筒中筒结构在水平荷载作用下的简化计算，将外框筒作为具有弯曲及剪切变形的等代筒体，内简只考虑弯曲变形，建立起以内筒位移为未知函数的四阶常系数非齐次常微分方程，得到了在均布荷载、倒三角形荷载以及顶点集中力作用下的解答。同年梁启智摒弃反弯点在连梁跨中的假定，将连续化方法推广到一般高层建筑，形成以切口剪力为未知函数的二阶常系数线性非齐次常微分方程组，求解后可以得到各竖向构件的内力与结构的位移。1990年梁启智等在此基础上又进行了框支剪力墙的空间分析。高层建筑抗震分析中，动力特性(主要指自振周期与振型)的计算是首要的。层数较多而高宽比不大于3的高层建筑可简化为剪切杆，其自由振动方程为二阶双曲型偏微分方程，通过分离变量可化为常微分方程，确定边界条件后可得到周期与振型。剪力墙结构，由于必须考虑弯曲振动，其自由振动方程将归结为四阶偏微分方程，通过分离变量和边界条件的确定同样可以得到周期与振型的解析解。框－剪结构与剪力墙结构在这点上非常相似，只是在方程的系数中稍有不同。1982～1983年包世华已经采取连续化模式利用混合法解决了框支剪力墙、落地剪力墙和壁式框架在水平荷载下的共同工作问题；1986年对该类结构采取底部为弹性支承的模型，用类似的数学模式，解决了动力特性问题；1987年又进一步研究了筒中筒结构动力特性的简化问题；1990年相继探讨了框架－剪力墙－薄壁筒斜交结构的弯扭耦联振动问题。1991年史密斯(B．S．Smith)等在框－剪结构连续化静力计算基础上，形成自由振动的六阶偏微分方程，通过分离变量得到了这类结构的动力特性，并给出了求前两个自振周期的计算图表。反应谱法是确定单质点体系地震作用的基本方法。该法首先要建立考虑地震时地面运动的质点振动方程，它是一个二阶常系数线性非齐次的常微分方程，其解虽然可以用杜哈梅(J．M．C．Duhamel)积分表示，但由于地面加速度的实际复杂性，一般只能通过数值积分得到加速度反应谱。1943年毕奥(M．A．Biot)就已给出了几条加速度谱曲线。在加速度谱的基础上逐渐形成了各国使用的设计反应谱。多质点的地震方程归结为二阶常系数线性非齐次常微分方程组，采用正则坐标，通过振型分解可将该方程组化为n个独立的二阶常微分方程，从而可以引用单质点体系的设计反应谱。考虑扭转振动时也可作类似的数学处理。时程分析法是一种能够确定地震全过程中建筑物各种力学量的先进方法。1956年纽马克(N．M．Newmark)对墨西哥一幢44层的高层建筑首次采用了时程分析法进行抗震设计，这幢建筑不仅经受住了1957年墨西哥城的地震，而且在1985年的8．1级地震中仍然完好无损。时程分析法所依据的微分方程，形式上仍然是质点体系的地震方程。但由于要考虑弹塑性受力状态，加上地面加速度的实际复杂性，因此为了能够得到地震全过程中建筑物的各种力学量，数学上只能采取步步积分法。积分时通常采用线性加速度法，但这种方法当时间间隔取得相对较大时，积分结果可能是发散的。利用纽马克β法，在β取一定值时可以得到稳定解。1961年开始武藤·清在高层建筑抗震设计方面作了大量理论与实验研究，编制了多种计算机程序，设计了许多高层建筑，在振型分解反应谱法和时程分析法的完善与简化方面作了许多重要工作。1966年他用差分法将变截面弯曲杆振动的四阶偏微分方程转化为仅含时间变量的二阶常微分方程组，沟通了无限自由度体系与多自由度体系振动之间的数学关系。1972年又研究了自由振动二阶常微分方程的稳定性与精度问题。1985年何广乾等在求解高层建筑扭转耦联振动的二阶非齐次微分方程组过程中，利用摄动理论，将耦联振型近似用非耦联振型的线性组合表示，得到了精度足够的扭转耦联低振型的近似解。1986年魏琏等对高层建筑扭转耦连振动时地震力及振型组合进行了研究，为实际设计振型个数的选取提供了依据。1989年赵西安采用双列多质点分层模型体系，通过时程分析法，获得了钢筋砼剪力墙与钢框架组合结构地震过程中各力学量的变化情况。1991年史密斯在给出了框－剪结构前两个自振周期计算图表后，结合反应谱理论又给出了与这两个周期对应的基底剪力系数图表。网架结构是现代化结构的又一代表。1966年西卡莫夫(P．И．Хиcaмoв)对平板网架就已经开始应用连续化模型按各向均质平板进行计算，70年代发展到用两向异性平板进行模拟，所得到的四阶偏微分方程一般按差分法进行求解。1966赖特(D．T．Wright)在空间框架壳体结构分析中也应用了连续化方法。网状球壳采取连续化模型最初是以薄膜理论为基础，1988年董石麟给出了有矩理论的拟壳法，以正交异性球壳等代网状球壳，将基本方程简化后形成以径向剪力为未知函数的四阶常系数线性齐次常微分方程，得到了解析解。同年余扶健将连续化方法应用于网格圆柱扁壳稳定性的研究，导出了异性圆柱扁壳稳定平衡的四阶偏微分方程组，通过伽辽金法得到了临界荷载表达式。1985年张毅刚等对网架结构的竖向地震反应作了系统研究，首先研究了网架自振特性，在此基础上用反应谱法和时程分析法对网架竖向地震内力的分布规律进行探索，找出了呈圆锥形分布的特点，并给出了实用分析法。20世纪70年代开始使用的气撑膜结构是充气结构的新发展。由于采用薄膜材料，这种结构的受力分析归结为壳体的薄膜理论。1976～1983年弗特(V．Fiřt)对气撑膜结构的静、动力分析进行了系统论述。静力分析中薄膜平衡方程可归结为一阶偏微分方程组，弗特总结了各种曲面在内部超压、恒载、雪载和风载下的解答；同时对常用的柱形薄膜进行了自由振动分析，将其归结为以径向位移为未知函数的四阶偏微分方程，通过分离变量得到了动力特性的解析解；在此基础上进一步研究了这类结构的强迫振动，将基本方程分离变量后得到以径向位移幅值为未知函数的四阶线性非齐次常微分方程，非齐次项通过傅里叶级数展开，最终获得解析解，为了实际计算的需要备制了大量表格以便查用。综上所述，微分方程特别是四阶或二阶常系数线性齐次和非齐次微分方程在传统的建筑结构中已经发挥了重要作用。由于这类方程的解答(除某些复杂者外)一般比较简单明了易于构成解析解，又能较准确的反映建筑结构的受力特性，所以在现代化的建筑结构中依然被人们使用。随着现代化建筑的发展，有必要对其使用的微分方程和解的特点进行更深入地研究和探讨。未来10～20年抗震设计的时程分析法将会有重要发展。由于地震中建筑结构力与变形的非线性化，将会促进非线性微分方程的进一步发展，随着结构形式的日趋复杂，变系数微分方程可能会更多的使用。在传统与现代建筑结构发展的同时，建筑－基础－地基共同工作的研究，风振与地震控制的研究等也都会促进微分方程的进一步使用和发展。【参考文献】：1 Vladimir Fiřt．Statics，formfinding and dynamics of airSupported membrane structures，Prague：Martinys nijhoff publishers，1983．55～166，229～305 2 武藤．清，著．结构物动力设计．滕家禄等，译．北京：中国建筑工业出版社，1984．32～743 Хиcaмoв P И著．网架屋盖的计算与构造．张明宇，译．天津：天津科学技术出版社．1986．21～304 卢存恕．建筑结构中的应用数学．北京：中国建筑工业出版社，1987，1～60，85～93，102～134，208～227，297～3045 Alex Coull，et al．ASCE，1991，117(8)∶2205～22236 Bryan Stafford Smith，et al．ASCE，1991；117(10)∶3026～30417 包世华．高层建筑结构计算．北京：高等教育出版社，1991．1～13，63～68，130～134，220～270(长春建筑高等专科学校卢存恕教授撰) |
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