“实集和复集”的概念、定义、翻译、参考文献-科学参考

单词

实集和复集

释义

【实集和复集】

拼译：real set and complex set

自康托(G．Cantor)在1873年创立朴素集合论后，人们对数学的认识便进入一个新的境界。但由于1901年罗素(B．Russell)在朴素集合论中发现了悖论，使人们认识到康托给集合下的定义是有缺陷的。为了消除悖论，便促成了策墨罗(E．Zermelo)和弗伦克尔(A．A．Fraenkel)为代表创立的ZF公理系统的诞生。

然而ZF公理系统是不完善的，象连续统假设这样深刻的问题已被证明在该系统内是不可判定的。这是哥德尔(K．Gödel)于1938年和柯恩(P．J．Cohen)于1963年工作的结果。虽然也还有其它一些公理系统出现，但也未获得令人满意的结果，这就促使人们在某种意义上不得不“从头开始”。

由于给集合下定义会带来麻烦，因此集合被认为是不定义的概念。它通常被描述成：“一些对象的全体”(以下简称“P”)或类似的说法。而具体解释这些对象时，又要求称作元素的对象要有“确定”、“互异”两个特性。这与P已有了相当的差别，事实上仅由P所得到的集比我们现在通常所说的集要广泛得多。但也要注意，P中的“一些”是不能用“全部”来替换的。

既然集合是不定义的概念，如何较好地描述这个概念仍然是值得考虑的。即使是这样，集合论在早期的研究中亦产生一些相当重要的结果。又因这些结果大都涉及到数学的“根基”，因而“数学基础”的研究也随之蓬勃开展起来。

那么，仅由P来讨论集合会得到一些什么结果呢?首先应提到的就是扎德(L．A．Zadeh)在1965年给出的F集。F集的问世，被认为是“确定性”这条限制的破缺，并由此拓宽了经典集合论研究的范围。然而实际上，F集的重大意义是提示了非整集的存在。

由于P中并未说明元素不许重复，因此若去掉互异性的限制，我们就再次地扩大了集合的范围。因为相同的元素(比如5个3)确确实实可构成一个集合。这实际上是将集合中每个不同的元素皆以一个数值λ_t——称为“位置值”来标明。将λ_t限定在［0，1］中讨论时，便构成F集理论。λ_t仅取｛0，1｝中的值时即为经典集，即经典集中的元素被安排在实轴的0，1两个点上且与论域U有关。一般λt可在高斯平面上找到其对应点。当某集的λ_t仅取实数时，称某集为实集；当某集的λ_t取复数时，则称某集为复集。尤其是当集A中的元素u_t位置值λ_t为自然数m时，即表明A中有m个同样的元素u_t，而λ_t的值为－m时，即表明若在A中加入m个u_t后，A中u_t的“个数”将变为零。从上面的论述中可以看到：人们对于“两个特性”的认识，是经过认可－破缺－高一层次的认可的曲折过程的。

为了论述方便，下面我们简略地给出复集的定义、运算和一些有关方面的内容。

定义1 所谓给定了论域U=｛u_t｜t∈T｝上的一个复集A，是指对于

都指定了一个复数λ(u_t)∈C，叫做u_t对A的位置值。映射λ(·)：U→C，u_t→λ(u_t)叫做A的位置函数，其中C为复数集。特别是

λ(·)∶U→R，则称A为实集；

λ(·)∶U→［0，1］，则称A为F集；

λ(·)∶U→｛0，1｝，则称A为经典集；

λ(·)∶U→｛0｝，则称A为零集，记作O_U。

这里0_U是指对U而言的零集，一般若U≠V，则O_U≠O_v，当考虑某问题不会引起误解时可省去下标。

至少有一个u_t，使λ(·)：u_t→λ(u_t)且λ(u_t)∈C－R，则称A为虚集。

由于复集由其论域和位置函数所刻画，所以复集的表法有下面几种：

可视不同场合而选用最简记法，并且当λ(u_t)=1时可省略λ(u_t)。为简明起见，常使用第一行中的记法。其中“∑”表A的所有元素连同位置函数的一个总括。特别指标集T为可数集时，

其中“+”即表A的元素连同位置值的一个列举。

在研究某具体问题时，对于给定的T₀，若

，有λ_t=1，则

即可作为该问题的论域U₀。因此若T₀≠T₁，常有U₀≠U₁，这在复集问题的讨论中须特别注意。

复集A中的元素可通过其位置值在高斯平面上表示出来。U上全体复集所构成的集类记作C(U)，类似有R(U)等等。

定义2 若n元函数

有意义，并设A^(j)

，则

，尤其当n=2时，有

。其中

，

。

由定义2不难证明：

定理1 若f(λ_t)有意义，则

。

推论若f(λ_t)=0，则f(A)=0。

由定义2及定理1，可得一系列运算法则。这里从略，在这里再一次强调论域U的重要性。作为一个具体的例子，可以在复集中证明，欧拉公式亦成立：

cosA+isinA=e^iA。

定义3 设函数F的变元为集，则称F为集函数。当X^(j)∈C(U)时，称F(X⁽¹⁾，X⁽²⁾，…，X⁽ⁿ⁾)=0为n元复集函数(j=1，2，…，n)。当某集为变元时，可称该集为变量集，否则称常量集。特别，当X∈C(U)和X∈R(U)时，分别称Y=f(X)为一元复集显函数和一元实集显函数。显然，一个集函数由对应关系和论域所确定。

定义4 含有未知集的等式叫做集方程，简称方程。解出未知集的过程叫解集方程。若某集替换方程中的未知集后可使方程成为恒等式，则该集就称为集方程的集解，简称为解。

解方程的方法与解代数方程或微分方程(若集方程中含有关于未知集的微分运算的话)的解法类似，所不同的只是解方程时要先求出论域U。特别有下面的定理2：

定理2 若一元n次集方程有解，则解的个数为n^m，其中m=cardU。

对于实集，可以考虑包含关系。用包含符号：