【可分解算子】
拼译：decomposable operator
巴拿赫空间X上有界线性算子T称为可分解算子，如果对T的潜σ(T)的任意有限开复盖
，存在T的谱极大空间
，使得X有线性分解X=Y1+Y2+…+Yn，并且T在谱极大空间Yj上限制TYj满足包含关系
，j=1，2，…，n．可分解算子的意义在于通过对谱σ(T)的分割导致空间X按T的谱极大空间的一种线性分解。
j=1，2…，n)可由正交变换U：Rn→Rn化成标准型
，用算子理论语言来说，即是有限维线性空间上自伴算子酉等价于对角算子。有限维线性空间上一般矩阵，由约当(G．Jordan)定理，它相似于一个约当标准型，将有限维线性空间矩阵的约当标准型理论移植到无限维线性空间，是线性算子理论一项中心的课题。这不仅是理论的自我完善，更为重要的是它为物理等自然现象提出一个适当算子理论框架。我们一般称之为线性算子谱分解理论。20世纪初，已建立希尔伯特(D．Hibert)空间自伴算子谱分解理论。1954年，丹佛(N．Dunford)等建立巴拿赫(S．Banach)空间谱算子理论，这是第1个系统的非自伴算子谱分解理论。1962年，考洛久拉(I．Corojoara)建立广义谱算子理论，次年，弗雅兹(C．Foias)建立巴拿赫空间上可分解算子理论。这是迄今为止，最广泛而且有丰富内涵的算子谱分解理论。60年代初至70年代初，是可分解算子理论初步形成阶段。1963年，弗雅兹提出可分解算子概念，直到1968年，考洛久拉和弗雅兹合著《广义谱算子》专著出现，可分解算子理论初步形成。这一时期，可分解算子理论的研究集中于算子局部谱理论，可分解算子的函数演算等，其中引人注意的研究是可分解算子的继承性问题：设T是巴拿赫空间X上可分解算子，Y是T的谱极大空间，那么限制算子TY和T在商空间X／Y上诱导商算子TY是否仍是可分解算子。阿波斯特(C．Apostol)详细研究σ(TY)，σ(TY)和σ(T)之间关系，1968年他证明T是强可分解算子当且仅当TY是强可分解算子，当且仅当TY是强可分解算子；TY是可分解算子当且仅当TY是可分解算子，直到1978年，阿布里奇(E．Albrecht)构造一个精巧的例子说明存在T可分解而TY不可分解的算子，才否定回答可分解算子的继承性问题，但是，这问题并未彻底解决。70～80年代前后，是可分解算子理论的蓬勃发展时期，一系列重大而引人瞩目的研究成果出现。阿波斯特推广谱测度引入谱容度，并与弗雅兹一起，在1968年证明T是可分解算子当且仅当T有谱容度。这一结果表明谱算子和可分解算子的重大差异在于谱测度具有一致有界性条件，而谱容度不具这个一致有界性条件。算子T称为有谱分解性质，简记SDP算子，如果在可分解算子定义中用一般不变子空间代替谱极大空间。SDP算子具有单值扩张性，问题的关键在于证明SDP算子T的谱子空间XT(F)是闭的。这一难点先后被阿布里奇(1979)、拿吉(S．Nagy，1978)和蓝吉(R．Lange，1981)解决。他们证明T是可分解算子当且仅当T是SDP算子，这个结果的意义在于指出可分解算子理论是最广泛且有一定内涵的谱分解理论。算子T称为2－可分解算子，如果在可分解算子定义中开复盖的数目仅限于2个｛G1，G2｝。可分解算子与2－可分解算子的等价性是由拉加巴里谱尔(M．Radiabalipour，1978)和蓝吉(1981)先后独立证明的。证明的关键在于指出2－可分解算子具有瓦西列斯库(F－H．Vasilesin)引入的几乎局部化谱，这是比可分解性强而比强可分解性弱的一种分解性。可分解算子的等价性描述方面还有一些，并且人们在这方面研究仍在继续，新的等价性条件还在不时出现。算子的对偶理论是指T与T*的性质及其相互关系的理论，是算子理论的重要研究课题之一。1964年，江泽坚、邹承祖利用弱*拓朴技巧建立谱算子对偶理论。1971年，伏龙扎(st．Franza)证明，若T是可分解算子，则T*亦是可分解算子，同时，进一步指出，对自反巴拿赫空间来说，上述结论的逆也是对的，对非自自反巴拿赫空间。蓝吉曾予研究，但证明有误。1982年，王声望、邹承祖和孙善利，对非自反巴拿赫空间证明，若T*是可分解算子。则T亦是可分解算子。毕西谱(E．Biship)提出算子的性质γ，方资求(C．K．Fong)于1988年提出性质γ*，并且研究了(T，γ)与(T*，γ*)的性质及其相互关系。可分解算子的各种性质的对偶理论都有深入研究的必要。两个交换的可分解算子的和与积是否仍是可分解算子。意斯期迈尔(Jörg Eschmeier)在1985年举出希尔伯特空间上两可交换的可分解算子，但是它们积是不可分解的。由此可知，它们和亦是不可分解的，但是问题并没结束，人们集中于研究在什么条件下，两个交换的可分解算子的和与积仍是可分解算子。可分解算子与其它算子的关系迄今仍是可分解算子理论研究的热点。这些研究充实了可分解算于理论，1969年，弗雅兹利用皇冠定理证明C0类算子是可分解算子；捷发林(A．A．Jafarian)证明弱压缩算子是可分解算子。1973年，成赫威(B．L．Wadhwa)建立谱算子和可分解算子之间的关系．王声望和刘光容还引入介入谱算子和可分解算子之间的一类算子，称可单位分解算子，并指出单位分解算子与可分解算子之间关系。算子理论研究的困难之一，就是算子谱的拓扑结构之复杂性以及当λ靠近谱时，‖R(λ，T)‖变化状态的复杂性。拉加巴里谱尔，捷发林以及拉加魏(M．Radjavi)利用予解算子范数增长阶判断各类型算子的可分解性。张奠宙也利用它判断各种广义谱算子。为将可分解算子理论应用到其它数学分支，或为谱分解理论自身完美，都须将有界可分解算子理论推广到无界情况。这种推广自然期望无界可分解算子应是无界谱算子的推广，孙善利、邹承祖、张奠宙及王声望先后提出闭可分解算子理论，孙善利建立闭可分解算子的对偶理论，并证明一类具有谱奇异的L2(0，1)中的二阶微分算子L不是闭谱算子而是闭可分解算子，研究一些微分算子的可分解性，特别是离散型算子的可分解性仍是十分有意义的问题。80年代初至今，是可分解算子理论发展的深入时期。这一时期，提出并且解决可分解算子理论一些深入的新课题，主要体现下述3个方面。首先，阿波斯特在1981年结合布朗(S．Brown)技巧，提出无条件可分解算子，并且建立关于不变子空间存在性定理。后来，1985年拉加巴里谱尔指出无条件可分解算子而是具有丹佛条件(B)的可分解算子。其次，在1984年谱第纳(M．Putinar)利用他所建立的亚正规算子的函数模型，证明亚正规算子是次可分解算子(确切地说是二阶次标算子)。这一结果使得我们可期望用可分解算子理论去研究亚正规算子的不变子空间问题。最后，可分解交换算子组理论方兴未艾。1970年，泰勒(J．L．Taylor)利用Kousz复形及其上同调模建立交换算子组的联合谱概念以及解析函数演算。1974年，阿布里奇和瓦西列斯库提出可分解交换算子组的谱容度概念。随之，伏龙扎在1975年就系统引入研究交换算子组的局部谱理论，并给出具有谱容度交换算子组的基本性质。目前可分解交换组理论，一方面试图将单个可分解算子的一些重要性质推广到交换算子组；一方面探讨可分解交换算子组出现的新的研究课题。由于Cn中开、闭集的拓扑结构比C中复杂得多，使得可分解交换算子组理论研究起来十分困难，还有许多研究有待深入地开展。【参考文献】：1 Apostol C. Rev. Roum. Math. Pures Appl,1968,13:147～ 1502 Colojoara I, Foias C. Theory of generalized spectral operators. Gordon & Breach, New York,19683 Frunza st J. Functional Analysis,1925,194 Albrecht E. manuscripta Math, 1978,25:1～155 Lange R. Proc Amer Math Soc,1981,8:401～4066 Putinar M. J operator theory, 1984,12:385～3957 孙善利．数学年刊，1984，A1∶49～548 Radjabalipoar M. MathAnn,1985,272:567～5779 Wang Shengwang. Math Soc Lecture Note Series, Corn-bridge, Univ Press, Cambridge -New York10 邹承祖．线性算子的谱分解理论．长春：吉林大学出版社，1987(吉林大学邹承祖教授撰)