【中介公理集合论】
拼译：ma systen of medium axiomatic Set theory(MS)
一种以中介逻辑演算ML为逻辑推理工具的非经典公理集合论系统。1902年，罗素(Russell)的悖论震惊了哲学界、逻辑学界和数学界。为了在集合中避免悖论的出现，人们曾提出过多种解决方案，其中由罗素当年提出的“量性限制论”，最终导致了近代公理集合论的诞生和发展。1908年德国策墨罗(Zermelo)首先建立了他的集合论公理系统，后经弗朗克尔(Fraenkel)、冯·诺伊曼(von Neumann)和斯科林(Skolem)等的几次改进，终于形成了著名的ZFC公理集合论系统，在该近代公理集合论系统中，历史上曾经出现的悖论已被排除，且至今未被发现有新的悖论出现，但也未能在理论上证明该系统永不可能出现悖论。在近代公理集合论中，还有如GB等其它公理集合论系统。但从总体上来说，ZFC系统显得直观和自然，使用又较方便，因而被普遍采用。但应指出，各种近代公理集合论的发展，都不涉及数学研究对象的再扩充。亦即古典集合论和近代公理集合论所能接受的造集谓词，均被限制为康托意义下的精确谓词。
20世纪60年代，查德(Zadeh)创始的而被发展起来的模糊集理论，标志着数学的发展，已进入数学研究对象由精确性量性对象到模糊性量性对象的再扩充时代，查德的不朽功绩在于他第一个明确提出，必须用数学的手段去分析处理大量存在的模糊现象，同时又提供了一各相对合理可行的处理方法，进而建立和发展了当今意义下的模糊集理论。但在这理论中，没有解决模糊谓词的造集问题，因而也就未能在数学基础理论意义下实现数学研究对象由精确性到模糊性的再扩充，因而必须拓宽经典数学的逻辑基础和集合论基础，必须在构造系统时，贯彻一条相反于经典数学所坚持的无中介原则的中介原则，从而导致了中介公理集合论的建立和发展。中介公理集合论以非经典的中介逻辑演算为配套的逻辑工具，并由21条非逻辑公理(模式)构成，其中以泛概括公理为核心，在中介公理集合论中，首先给出了有如模糊谓词
P(x，t)等概念的形式定义，直至在数学基础理论意义下解决了模糊谓词的造集问题，因而在数学基础理论意义下完成了数学研究对象由精确到模糊性的再扩充。其次，大家公认整个精确性经典数学可由ZFC之正则公理以外的9条公理推出，但这9条公理已被证明为MS中对谓词与个体在某种约束条件下的9条定理。而且严格证明了任何一个经典的二值逻辑系统都是ML的子系统。从而整个精确性经典数学可在MS中产生并奠基于MS。又各种近代公理集合论对悖论的排除都涉及概括原则的修改，但在排除悖论的同时又过多地限制了原则的合理内容，因而需要寻找一种如何修改概括原则的方案，使之既能排除悖论，又能最大限度地保留概括原则的合理内容。这一问题在经典数学中不仅没有解决，而且几乎是不可能在经典数学范围内解决的。然而在ML和MS中，通过泛概括公理和泛概括定理证明“任何正规清晰谓词都存在着一个该谓词的恰集”，而MS意义下的一切正规清晰谓词又囊括了康托意义下的一切造集谓词。这表明在MS中已完全保留了康托意义下的概括原则。另一方面，对于历史上曾经出现的种种逻辑数学悖论，以及在二值系统中无需解释的多值逻辑悖论与无穷值悖论等，均在MS中得到了解释，从而也就解决了如何修改概括原则的遗留问题。此外，中介公理集合论也开辟了以非经典逻辑演算为配套逻辑工具的公理集合论研究方向。在中介公理集合论MS构造中，除了接受中介逻辑演算ML(MP、MP*、MF、MF*、ME*)的全部形式符号、定义符号和推理规则外，还要引入两个基本的常谓词；其一是二元常谓词∈，解释并读为“属于”，其二是一元常谓词m，解释并读为“小”，从而在MS中除了接受ML中关于合式公式(Wff)的所有归纳定义外，还要添加如下的定义。如果x和y都是个体词，则x∈y和m(x)都是合式公式。在MS中，规定以a，b，c，ai，bi，ci，A，B，C，Ai，Bi，Ci，X，Y，Z，Xi，Yi，Zi，α，β，γ，αi，βi，γi，μ，v，vi(i=0，1，2，…)表示个体词。MS是以ML为逻辑推理工具的、已被形式化了的公理集合论系统，它有一系列概念的形式定义及21条公理(模式)的形式化表达式。A1外延性公理
定义 1．1(子集)
，
，
，
．定义 1．2(真子集)
．A2对偶公理 
．定义 1．3(对偶集)
．定义 1．4(单点集) ｛a｝=df｛a，a｝定义 1．5(有序对) ＜a，b＞=df｛｛a｝，｛a，b｝｝．定义 1．6(单点序) ＜a＞=dfa定义 1．7(有序组) ＜a1，a2，…，an＞=df＜＜a1，…，an－1＞，an＞，(n=2，3……)定义 1．8(模糊谓词) 
定义 1．9(清晰谓词) 
定义 1，10(清晰集)
定义 1．11(模糊集)
定义 2．1(恰集)
定义 2．2(恰集简记)
A3联集公理 
．定义 2．3(联集)
．定义 2．4(联) a∪b=dfU｛a，b｝．定义 2．5(多元集) ｛a1，…，an｝=df｛a1，…，an－1｝∪｛an｝，n=3，4…．A4交集公理 
．定义 2．6(交集)
．定义 2．7(交) a∩b=df｛a，b｝．A5外集公理 
．定义 2．8(外集)
．A6中介集公理 
．定义 2．9(中介集)
．A7清晰集公理 
．定义 2．10(清晰集)
．A8卡氏积公理 
定义 2．11(卡氏积)
．A9冥集公理 
．定义 2．12(幂集)
．定义 2．13(幂清晰集) Fa=df(Pa)0定义 3．1(概集)
．定义 3．2(正规谓词) MS中有如下的形成规则：①若x，y是项，则x∈y，x=y是正规谓词。②若P，Q是正规谓词，则P→Q，=P，～P都是正规谓词。③若P(a；t1，…，tr)是正规谓词，个体词a在其中出现，x不在其中出现，以x替换a的所有出现而得P(x；t1，…，tr)，则
…，tr)都是正规谓词。MS中之谓词是正规谓词，当且仅当它能由上述形成规则①、②、③生成。如果P是MS中的正规谓词，则记为NorP．A10泛概括公理 对任何NorP(x1，…，xn；t)而言只要其中不包含a的自由出现，则
．定义 3．6(单值谓词) 
A11替换公理 对任何
，只要其中没有b出现，则有
。定义 3．7(替换集) 
定义 3．8(后继) a+=dfa∪｛a｝。定义 3．9(后继集)
A12后继集公理 
。定义 3．10(么元素集)
。A13选择公理
。A14清晰公理 
。定义 4．1(巨集) Gi(a)=df= m(a)。A15巨集公理 Gi(a)VGi(a～)VGi(a－)。A16小清晰集公理
。A17单点小集公理
。A18小联集公理
。A19小交集公理
a)。A20后继恰集公理
。定义 4．2(后继恰集)
A21小幂集公理
。定义4．3 (清晰冥集)
。近年来，有关中介公理集合论的研究内容主要是：(1)精确谓词与模糊谓词的划分与定义。(2)中介公理集合论中的各种集合运算。(3)中介公理集合论系统与近代公理集合论系统之间的关系。(4)种种逻辑数学悖论在中介公理集合论中的解释方法。当前，对于进一步发展中介公理集合论而研究的课题是：(1)建立中介意义下的基数、序数理论。(2)探讨中介公理集合论与近代公理集合论之间的相对相容性。(3)研究连续统假设在中介公理集合论中的表现形式与结果。(4)开发中介公理集合论的应用前景，例如，目前正在研制的中介集语言就是其中之一。【参考文献】：1 肖奚安等，自然杂志，1984，7∶7232 肖奚安等．自然杂志，1986，9∶554，632，714，794，873，9483 肖奚安等．自然杂志，1987，10(3)4 朱梧檟．几何基础与数学基础．沈阳：辽宁教育出版社，19875 Zhu Wujia，Xiao Xi’an，J Math．Res & Exposition，1988；8∶1396 朱梧檟，肖奚安，中国科学(A辑)，1988；27 Xiao Xi'an.Zhu Wujia. SCIENTIA SINICA (Science in China ),Series A, 1988,30(11)8 Zhu Jianying, Xiao Xi'an, Zhu Wujia. Fuzzy Sets and Systems,1990,369 Zhu Wujia,xiao Xi'an. Methodology and Philosophy of Science, 1991,110 肖奚安等，集合论导引，南京：南京大学出版社，1991(南京航空航天大学朱梧檟教授撰)