【不可约空间理论】
拼译：theory of irreducible spaces
仿紧空间的广泛应用，引起了对仿紧性的形形色色的推广，形成覆盖性质理论。绝大部分的覆盖性质都能使“可数紧闭子集成为紧子集”(这一性质称为iso－紧性)。不可约(irreducible)空间引起人们的兴趣是从1950年阿伦等(Arens-Dugundji)利用弱仿紧(metacompact)空间的不可约性证明了“弱仿紧的可数紧空间是紧空间”开始的。以后人们一方面寻找哪些类型的空间具有不可约性，另一方面发现了不可约性的类似于使可数紧性成为紧性的一些作用。这样，就使不可约性在拓扑空间理论中，特别是覆盖性质方面起着很大作用。
空间X的开覆盖
称为最小的，如果不存在
的真子族覆盖X，空间X称为不可约的，如果X的每一开覆盖具有最小的加细开覆盖。空间X称为θ－加细的(θ－refinable)，如果X的每一开覆盖
存在加细开覆盖序列｛
｝n∈N，对每一x∈X，存在n(x)∈N使0＜ord(x，
)＜ω；称为弱θ－加细的(weaklyθ－refinable)，如果X的每一开覆盖
存在加细开覆盖
，对每一
，存在n(x)∈N，使
；如果在弱θ－加细空间的定义中更添加：｛
｝是点有限的(
∈Vn｝)，则称X为弱
加细的(weakly
－refinable)。熟知弱仿紧
θ－加细
弱
加细
弱θ－加细，而相反蕴含关系都不能成立。1975年蓬奈(Boone)证明：“θ－加细空间是不可约的”，并提出问题：“弱θ－加细空间是否不可约?”1977年度文(VanDouwen)等否定地回答了这问题，他们构作了一个正则、弱θ－加细而非不可约的空间。1975年斯密司(Smith)引入了弱θ－加细空间。弱θ－加细空间是否不可约引起人们的兴趣。1976年蓬奈证明：“弱θ－加细空间是不可约的”。斯密司曾提出问题：“可数弱仿紧的弱θ－加细空间是否弱
－加细空间?”随着上述结果的证明，把上述问题改写为问题1：“可数弱仿紧的弱θ－加细空间是否不可约?”这问题尚未解决。蓬奈曾给出不可约空间的一个有效的刻划：“空间X是不可约的，当且仅当X的每一开覆盖
存在离散闭集族
使
，
且
覆盖X”。易知可数紧空间的每一离散集族是有限的，
紧空间(每一不可数子集有聚点)的每一离散集族是可数的(也称为性质(δ)，易知性质(δ)等价于
紧，而Lindelof空间具有性质(δ))。由上述刻划得下述定理：“在不可约空间：①可数紧性与紧性等价。②
紧性与Lindelof性质等价。”这定理显示了不可约空间的有趣的性质。从本文开端的叙述似乎不可约性与iso－紧性有蕴含关系，其实不然。弱θ－加细空间是iso－紧的，但不是不可约的，此外，有反例说明：不可约性+集态正规性
紧性，这由于不可约性不是闭遗传的。空间X称为δθ－加细的、弱δθ－加细的、弱
加细的，如果把θ－加细的、弱θ－加细的、弱
加细的定义中的“
＜∞”分别改为
”。斯密司在引入弱θ－加细空间后曾证明θ－加细性蕴含弱
加细性，但在引入弱
加细空间后他不知是否有类似的蕴含关系。故有问题2：“δθ－加细空间是否弱
加细的?”这问题尚未解决。1984年马虚磐(Mashburn)证明：“T1的δθ－加细空间，T1的弱δθ加细空间都是不可约的”。必须指出条件T1不能去掉。但他是对δθ－加细空间、弱δθ－加细空间分别证明的，并没有解决问题2。1972年磐奈(Bennett)等把完全性附加于弱θ－加细空间，得到：“完全的，弱θ－加细空间是次仿紧的，从而是不可约的。”1977年刘应明引入拟仿紧性与狭义拟仿紧性，按狭义拟仿紧
拟仿紧，且θ－加细
狭义拟仿紧，故有：拟仿紧空间是否不可约的?”这问题已为朱俊(1991)正面地解决：“T1拟仿紧空间是不可约的”。但条件T1不能去掉。不可约空间的遗传性及映射性质。很多的覆盖性质具有闭遗传性，特别是具有Fσ－遗传性(即每－Fσ子空间保持原来空间的性质)。例如：仿紧、弱仿紧、次仿紧、θ－加细、弱θ－加细、δθ－加细、弱δθ－加细等等，因此，再附加条件“完全性”后可获得遗传性。对不可约空间来说，情况未必尽然。不可约空间不具有闭遗传性。1976年度文宣称“每一空间可以作为闭子集浸没于某一不可约空间”，未见其构造。1979年代维斯(Davis)等给出了构造。对任一空间X可以构造不可约空间g(X)使X同胚于g(X)的某闭集且变换g保持势(无限情况)、特征(character)、分离性及集态正规性等。不可约空间虽不具有闭遗传性，可有下述有趣结果(困完全的次仿紧空间是遗传性次仿紧的)：“完全的、弱θ－加细空间是遗传性不可约空间”。这定理之所以有趣是弱θ－加细空间未必具有不可约性。至于是否可用“不可约”代替上述定理中的“弱θ－加细”，我们提出如下问题3：“完全的、不可约空间是否遗传性不可约的?”上述问题已为朱俊(1991)否定地解决，他证明：“完全的、不可约空间是开遗传的，未必是闭遗传的。”关于不可约空间的映射性质的讨论。我们提出问题4：“不可约空间能否为闭(完备)映射所保持?”这问题尚未解决，朱俊(1991)曾给出这问题部分解答：①T1拟仿紧空间的闭象是不可约的。②设X不可约，A闭于X，则X／A是不可约的。①中的条件T1不能去掉。【参考文献】：1 Bennett H R, et al. Gen Top Appl, 1972,2:49～542 Smith J C. Proc Amer Math Soc, 1975,53:511～5173 Boone J R. Bull Austral Math Soc, 1975,12:143～1484 Smith J C. Proc Amer Math Soc, 1976,57; 133 ～1395 Boone J R. Pacific J Math, 1976,82:351 ～ 3576 Van Douwen E, et al. Houston J Math, 1977,3:141～1527 刘应明．数学学报，1977，20∶212～2148 Mashburn J D．Top．Proc，1984，9∶339～3529 高国士．数学进展，1989，18∶143～14910 朱俊．数学学报，1991，34∶309～315(苏州大学高国士教授撰)