【Fuzzy值函数的广义积分】
拼译：general integral about Fuzzy valve function
Fuzzy值函数的积分研究取值为Fuzzy集(特别是Fuzzy数)的函数的积分问题。Fuzzy函数的广义积分研究无界的Fuzzy值函数及无穷限Fuzzy值函数的广义积分问题。这是两个联系十分紧密的问题，是经典分析及普通集值分析相应内容的推广。由于它们研究的对象更广泛，更能反应和处理复杂的现实问题，研究起来更困难，但更有意义。现实问题中，碰到函数的取值，一般不是一个确定的值，而是多值的、集值的、甚至是Fuzzy值的。对这一类问题，研究其分析问题，能解决原来难以定量化的一系列问题，特别是经济问题、工程问题及人文科学问题。Fuzzy值函数的积分及广义积分的理论为复杂系统及Fuzzy系统提供了一种强有力的分析工具。
20世纪60年代初，为解决一系列经济及统计问题，美国、法国的一些学者提出了区间值及集值函数的微积分理论。但是，它们也不能完全用于处理一系列复杂系统的分析问题。1965年，美国扎德(L．A．Zadeh)发表“Fuzzy集合”一文，标志着Fuzzy数学的诞生。Fuzzy集理论为的是用简明的数学方法，对复杂系统作出合乎实际的处理。在自动控制、系统分析、经济管理等许多不确定系统决策方面，有明显的实际意义。它为计算机科学发展提供强有力工具。Fuzzy数是R上的特殊Fuzzy集。它是实数的区间数的推广。对Fuzzy数，自1972年起国外即开始研究，并且不断深入。随着Fuzzy数研究的深入，1978年，H．Nguyen在《关于Fuzzy集扩展原理注记》一文中，已经注意到将普通积分推广到Fuzzy积分的可能性及思想。1978年，杜布瓦(D．Dubois)及普哈德(H．Prade)首次利用扩展原理，讨论Fuzzy值函数积分及微分问题。特别是研究了定义在有限区间且取值为Fuzzy数的一类Fuzzy值函数的积分问题，将其定义为：
说明了这种定义与扩展原理的一致性。并给出了f取值为L－R型Fuzzy数时，Fuzzy积分的计算法及与Reimmann和的关系，并讨论了其性质。这类积分是推广普通集值积分的一种尝试。但是，他们所引出的概念不太直观、不太易懂，且理论上不够系统严密，计算不方便，甚至困难。同时，他们还给出了Fuzzy值函数的导数。这一系列工作总结在《Fuzzy集及系统－理论及应用》一书中。1982年，杜布瓦(D．Dubois)及普哈德(H．Prade)将1978年的思想及结果进一步发展，利用扩展原理，继续研究Fuzzy值函数的积分理论，并指出其计算的可行性，使1978年的工作更系统化、理论化。同时还讨论了Fuzzy区间上的积分理论及Fuzzy微分理论。但是，微积分的基本公式，即牛顿－莱布尼茨公式，在Fuzzy值微积分理论中，未能成立，这是一个严重的不足。1983年，罗承忠、王德谋将区间值函数的积分推广，然后利用它定义Fuzzy值函数的积分，推广了杜布瓦(D．Dubois)等人的一元Fuzzy值函数的积分理论，又给出了多元Fuzzy值函数的积分定义。证明了定义的合理性及Fuzzy值函数的积分性质。他们所采用的方法是“集合套”理论。这使得Fuzzy积分的概念和理论直观易懂、系统严密。1985年，王德谋、罗承忠推广了杜布瓦(D．Dubois)等的Fuzzy微分运算。但是牛顿－莱布尼茨公式仍不成立。1987年，岑泳霆讨论了区间值函数及Fuzzy值函数的牛顿－莱布尼茨公式，应用集合套理论及Fuzzy集分解定理，引入了Fuzzy值函数的微积分理论。但是，这里所定义的导数为“同序可导”或“逆序可导”，适用面窄。随着Fuzzy数空间的代数性质及拓扑性质的深入研究，从极限理论的角度推广Fuzzy微积分理论的工作亦在进行。1986年，R．Goetxhel等在Fuzzy数空间中引入一种变量，建立极限概念，导出拓扑向量空间，建立起Fuzzy导数及Fuzzy积分概念，证明了一些基本性质，特别是证明了Fuzzy微分和积分的互逆公式成立。但是，该理论的一个严重不足是取值为Fuzzy数的函数的导数不一定是Fuzzy数，并且引入的极限的性质不太好。1987年，O．Kaleva以Fuzzy Hausdoff度量为基础，引入极限概念，类似经典分析建立起微积分理论，并讨论了Fuzzy微分方程。具有较好的性质。沿着后一路线，推广Fuzzy微积分理论的工作有许多。但是，利用“集合”套理论和“极限理论”建立起来微积分理论之间的关系，以前一直讨论不够。并且，在1988年前国内外文献中尚不见讨论Fuzzy值函数的广义积分问题。
1988年，吴传生利用λ－截集，集合套理论及分解定理和表现定理，给出区间值函数及Fuzzy值函数的广义积分理论(包括无穷限Fuzzy值函数及无界Fuzzy值函数的广义积分)，证明了定义的合理性，且将普通分析中的运算性质推广开来。同时，还讨论了Fuzzy数列及取值为Fuzzy数的Fuzzy值函数的极限定义，主要方法是由Fuzzy数之间的λ－截集的Hausdoff距离诱导出Fuzzy数之间的距离，由该距离导出Fuzzy数
中的拓扑结构，在这一拓扑结构下，
仍具有可分性、连通性，完备性。从而引出的极限的性质也较好。由极限理论，导出了无界的Fuzzy值函数及无穷限Fuzzy值函数的广义积分的另一定义。并证明了由极限理论和“集合套”理论引出的两种定义的等价性。基于极限的观点，讨论Fuzzy值函数的广义积分和Fuzzy级数的联系。该文的结果，使得以前由几种方式讨论的不同的Fuzzy值函数的积分、Fuzzy值函数的广义积分、Fuzzy级数的概念，均能统一在Fuzzy极限的框架之下。1991年，吴从炘等在抽象意义下讨论Fuzzy微积分的工作，与吴传生工作的思想渊源具有相似之处。1989年，郭述忠对区间值函数与Fuzzy值函数的无穷积分亦进行了一定的讨论。1990年，吴传生进一步讨论了含参变量的Fuzzy值函数的广义积分一致收敛性问题。将Fuzzy值函数的积分，广义积分推广到取值为
上的一般Fuzzy集值函数的情形(不限于
值函数)，并讨论了含参变量的取值为一般Fuzzy集的函数的广义积分的一致收敛(收敛)的收敛条件及性质。不仅如此，文中还对含参变量的一致收敛的
值函数的分析性质进行了讨论，将经典分析中连续性守恒、逐项微分、逐项积分性质完全平行推广过来。而且这里引出的导数概念略有拓宽，对其结构分析得较为透彻。值得指出的是，1991年，吴从火斤，马明利用模糊数表示定量及嵌入定理，将Fuzzy映射和取值于巴拿赫空间，甚至局部凸的拓扑线性空间的抽象函数的联系起来，研究Fuzzy映射的分析方法，在理论上更完善。与Fuzzy值函数广义积分理论相平行，Fuzzy级数理论研究亦在进行。Fuzzy积分和广义积分的理论，将是一个广泛的研究领域。首先，其应用似乎非常广泛。国外，已有人利用Fuzzy积分理论研究Fuzzy经济空间，国内亦有人用它研究经济模型。Fuzzy积分理论的应用无法估计，值得深入探讨。另外，经典分析中黎曼积分及广义积分理论，可推广到勒贝格积分及其它各种形式的推空，Fuzzy值函数的积分和广义积分亦可作相应推广。系统地建立这些推广的理论，并研究其相互关系，将是饶有趣味的。完善Fuzzy值函数的微积分理论，再深入系统地研究Fuzzy微分方程、积分方程、Fuzzy动力系统的理论，这是一个十分重要的广阔的领域。【参考文献】：1 Dubois D，et al．Fuzzy sets and Systems：Theory and Ap plications A Cademic Press，New York，19802 Dubois D，et al．Towards Fuzzy differential Calculus，FSS．1982，8(1)：1～70；8(2)：105～116；8(3)：225～2333 罗承忠，等．模糊数学，1983，3(3)：45～524 Goetschel R，et al．Elementary fuzzy Calculus FSS，1986，18(1)：31～3175 Kaleva O．Fuzzy Differential equations，FSS．1987，24(3)：301～3176 岑泳霆．模糊数学，1987，3～4：13～187 吴传生．武汉工学院学报，1988，4：75～878 郭述忠．模糊系统与数学，1989，3(2)：49～589 吴传生．武汉工学院学报，1990，1：47～5610 吴从炘，等．模糊分析学基础．北京：国防工业出版社，1991(武汉工学院吴传生副教授撰；蔡宏材审)