【量子随机分析】
拼译：quantum stochastic calculus
自从1900年普朗克(Planck)提出能量的量子概念以来，量子力学的发展愈来愈显示了它的随机本质：玻尔(Bohr)的原子模型(1913)、德布洛意(de Broglie)的波粒二象性原理(1925)、薛定谔(Schrodinger)方程(1926)和海森堡(Heisenberg)的测不准原理(1927)，使物理学家们意识到：量子力学本质上是一种随机的力学。于是，在20世纪20年代末至30年代初，几乎和柯尔莫戈罗夫(Kolmogorov)奠定古典概率论基础的同时，波恩(Born)、狄拉克(Dirac)和冯·诺意曼(von Neumann)提出了量子概率论。至此，概率论才进入了量子力学。但是在一个相当长的时期内，物理学家们在得心应手地应用泛函分析和算子代数作为量子力学的数学工具的同时，却没有利用近代概率论的许多深刻结果和精湛技巧来发展量子力学，对于他们来说，概率论的应用仅仅在于阐明量子力学的基础。这种情况直到70年代才有所改变。80年代以来，由日本伊藤清所开创的关于随机函数无穷小分析的随机分析学正逐步渗入量子力学，使之大为改观，一个崭新的数学物理分支——量子随机分析——正在形成。
量子力学中最基本的概念是状态和观测。按照冯·诺意曼的量子概率论公理，量子系统的状态是复希尔伯特空间中的密度算子，而每一单位矢量称为一个纯粹状态，物理量的观测则是其中的自共轭算子，即“量子随机变量”。在纯粹状态ψ下，观测A落在区间△中的概率为‖ПA(△)ψ‖2，其中ПA(·)是算子A的谱测度。如果系统在初始时刻处于纯粹状态ψ0，则在时刻t的状态为ψt=eitH／hψ0，其中H为能量观测，h=h／2π，h为普朗克常数，这就是描述量子系统动态发展的薛定谔图式。由于量子概率论的对象是希尔伯特空间中的算子，一般说来，它们是不能交换的，因此量子概率论可以称为“非交换”的概率论，如果这些算子能交换，量子概率论就化为古典概率论。随机分析学的基础是随机积分理论。在古典随机分析中，建立随机积分理论必须定义递增的σ－代数流、适应随机过程、条件期望和鞅等概念。在量子力学中，由于所考虑的是算子值过程，代替σ－代数流的是一族递增的算子代数，称为冯·诺意曼代数(或W*代数)。利用塞格尔(Segal)的非交换抽象积分理论，巴勒特(Barnett，1982)等建立了一套量子随机积分理论，定义了量子鞅，得到了关于量子下鞅的类似于古典下鞅的杜勃(Doob)－梅耶(Meyer)分解定理，还研究了量子随机微分方程的解。与此同时，哈德逊(Hudson)与帕塞沙拉西(Parthasarathy)也建立了一套非交换的随机分析理论，他们利用指数矢量(即相干状态)在霍克(Fock)空间中的完全性和所讨论算子的可闭性，本质上是以矢量值过程代替算子值过程，从而不需要冯·诺意曼代数和塞格尔的理论，只用普通的勒贝格积分和自由博色(Boson)场算子的典则交换关系(CCR)，直接推广了古典的伊藤公式。他们选择了3个基本的量子鞅：增生(creation)、湮灭(annihilation)和保守(conservation)鞅作为量子噪声过程，它们是古典布朗运动过程和普哇松(Poisson)过程的直接推广。为了研究物理量的观测在出现上述量子噪声的系统中的动态发展，他们在有界系数情形下，得到了量子随机微分方程的解唯一存在且为酉算子过程的充分必要条件。稍后，他们的结果被推广到系数无界但满足某些解析性条件的情形。量子随机微分方程有着深刻的物理背景。阿卡迪(Accardi，1989)等研究了某些量子系统模型的弱耦合极限和低密度极限，证明了系统观测在弱耦合情形下的动态发展，当耦合参数趋于零时，其极限为一量子动态半群，它是某个由量子布朗运动驱动的量子随机微分方程的解；在低密度情形，当气体密度趋于零时，其极限动态半群则是某个由量子普哇松过程驱动的方程的解。阿卡迪等将量子随机过程定义为C*或W*代数之间的一族同态单射。在这种观点下，伊万斯(M．Evans)与哈德逊将古典微分流形上的随机微分同胚流的概念推广为量子扩散过程或量子随机流。并利用非交换或非线性的上同调理论研究了这种随机流的构造。另外，诸如古典随机分析中的鞅的随机积分表现定理、停时和停止过程、局部时等概念，近年来也被推广到量子随机分析中，由于量子随机过程没有古典随机过程的“轨道”概念，因此这些概念和古典随机分析有本质的区别。以自由费米(Fermion)场算子的典则反交换关系(CAR)代替CCR，可以平行地建立费米随机分析理论。但哈德逊和帕塞沙拉西利用一种反射过程得到了反称霍克空间和对称霍克空间的同构关系，从而使费米随机分析自然地转化为博色随机分析。另一种量子随机积分的定义是利用霍克空间算子的积分核表示，它首先由马森(Maassen，1985)提出，但其思想可以追溯到贝热津(Berezin，1965)，它使各种运算化为相应核的运算，因而也可以统一处理博色和费米两种情形，带来许多方便。量子随机分析的中心课题是研究量子系统的动态发展。然而实际的量子物理系统，除了极端或理想化情形外，都是非马尔科夫的，即预测将来的发展不能仅仅建立在现在观测的基础上，而必须利用它的全部过去历史。另一方面，由于霍克空间同构于平方可积泛函空间，因此霍克空间中的分析实质上是L2理论，这有非常大的局限性。值得注意的是，近年发展起来的无穷维随机分析理论，特别是马里亚万(P．Malliavin)的随机变分学和飞田武幸(T．Hida)的白噪声分析理论，提供了克服上述困难的有力工具。例如，最近贝拉夫金(Belavkin，1991)利用随机变分定义了非适应算子过程的量子随机积分，建立了非适应的量子伊藤公式，构造了非平稳、非马尔科夫、非适应的量子朗之万(Langevin)方程的解；又如飞田武幸等(Hida，Obata与Saito，1990)利用白噪声分析中的微分算子
和其共轭算子
，得到了白噪声泛函空间中算子的积分表示，在此基础上，笔者提出了广义量子过程和量子白噪声的概念，并推广了量子伊藤公式，由于白噪声分析方法突破了L2理论，因而应用于量子随机分析有很大的优越性。【参考文献】：1 von Neumann J. Mathematische Grundlagen der Quanten-mechanik, Berlin;Springer,19322 Accardi L, et al. Quantum stochastic processes, Publ RIMS, KyotoUniv, 1982,18:97～1333 Barnett C, et al. The Ito-Clifford integral, J Funct Anal, 1982,48:172～2124 Hudson R L, et al. Commun. MathPhys, 1984,93:301 ～ 3235 Huang Z Y. Advances in Math,1988,17(2) :360 ～3786 Hudson R L. Probability Theory and Mathematical Statistics. VNU Science Press. 1990,512 ～ 5257 Belavkin V P. J Funct Anal,1991.102:414～4478 Parthasarathy K R. An Introduction to Quantum Stochastic Calculus, Birkhǎser, Basel, 19929 Meyer P A. Lect Notes in Math, 1993,153810 Huang Z Y. Nagoya Math J,1993,129:23～42(华中理工大学黄志远教授撰)