【σ－备半序线性空间理论】
拼译：the theory of σ－complete semi-order linear space
匈牙利黎斯(F．Riesz)在波隆那(Bologna)国际数学家大会(1928)上的讲演，奠定了半序(有序、偏序)线性空间理论的轮廓。原苏联的康托洛维奇(Λ．B．Кaнтopoвич)及日本的角谷静夫等一大批学者在此领域作出了突出贡献。该理论对各种函数空间的研究更加丰富多采，在积分论、概率论与方程求解等多方面得到广泛应用。
若对集E中的某些元素x、y、z，定义了序关系“≤”，且满足(1)x≤x；(2)x≤y，y≤x则x=y；(3)x≤y，y≤z，则x≤z，这时称E是半序的。若x≤z，y≤z，则称z是x与y的一个上界；若x，y的任何一个上界w均有z≤w，则称z为x与y的上确界，记作z=x∨y。下确界可对偶定义。若半序集E中每对元素均有上确界与下确界，则称E为一个格。对数域上的集E定义了加法与数乘运算且满足结合、交换、分配等7条公理，则称E为线性(向量)空间。在实半序线性空间E中，一般要求代数运算与半序满足相容条件：1．x≤y，则x+z≤y+z；2．x≥θ，λ≥0，则λx≥θ。格实线性空间称作黎斯空间(向量格)。可对其中的元定义正部、负部与模(绝对值)；对有向列｛xα｝定义(0)－收敛，对序列｛xn｝定义(0σ)－收敛。半序线性空间E叫做备的，若其中任何有上界的集合均有上确界；E叫σ－备的，若其中任何可数有上界集合均有上确界；E叫做弱σ－备的，若其中任何有上界的增列有上确界。显然，备
σ－备
弱σ－备。在σ－备黎斯空间，有直和分解定理成立。半序线性空间E叫做阿基米德(Archimedes)型的，若x，y∈E，对于任意自然数n，当θ≤x≤n－1y成立时即有x=θ。弱σ－备半序线性空间是阿基米德型的。史树中获得绝对形式的凸集分离定理：设E为线性空间，F为备黎斯空间，C为E×F中的凸锥；若集｛y｜(θ，y)∈C｝有下界且存在
使集
是E中的吸收集，则存在线性映射∧：E→F使∧x+y≥θ，
。其后，王苏生又讨论了相对形式的极值问题。史、王的结果均系著名的库恩－塔克(Kuhn-Tuker)定理的推广。近10年来，讨论与σ－备性黎斯空间有关的文章大约有20篇左右，其中多篇研究扩张问题，提出了最大拓扑扩张、最大σ－扩张与戴德金(Dedekind)扩张等概念；另有多篇考察σ－戴德金备的黎斯空间的一些问题，例如1989年诺瓦克(M．Nowak)给出了模的概念，并讨论所谓奥尔里奇(Orlicz)格，1990年沃克(W．Wnuk)研究了某些局部实心黎斯空间的最大黎斯子空间，1984年卢森堡(W．A．J．Luxembourg)用新方法证明了阿梅米亚(Amemiya)的表现定理：每一个黎斯空间同构于实的次直积。1991年颜心力等研究了映豪斯道夫(Hausdor)拓扑线性空间到σ－备黎斯空间算子的变分问题，分别讨论了绝对形式与相对形式的变分不等式以及极大极小问题。在弱σ－备半序线性空间的算子方程求解，近年来有一系列工作。1956年，关肇直在实希尔柏特(Hilbert)空间，对连续正定有界对称线性算子的映象，利用最速下降法，获得零点定理；1984年，张上泰在弱σ－备半序线性空间推广了关肇直的结果并获得另一对不动点定理；其后，颜心力、刘清荣、戴士元等又相继推广了张上泰的结果。1992年，颜心力创造非对称迭代，证明了多个二元算子方程的求解定理，例如其中之一是：设E为弱σ－备半序线性空间或具有正规锥的实巴拿赫(Banach)空间，〔u0，
，A：〔u0，v0〕x〔u0，v0〕→E关于M拟对称压缩，关于a=N－α，b=1－α混合单调且满足θ≤A(u0－v0)，A(v0，u0)≤(1－α)(v0－u0)，α∈(0，2－1)，－∞＜N＜M＜1－α，则方程A(u，u)=θ有唯一解
。1991年，颜心力等获得和算子的E压缩映象与非扩张映象定理：设E为弱σ－备半序线性空间，
，c∈E；h，g∶［y0，z0］→满足
，θ≤(z－y≥)gz－gy(≥)≤a(z－y)，θ≤(z－y≥)hy－hz≤(≥)b(z－y)，
，0≤a，b，a+b＜1(对非扩张要求0＜a，b；a+b＞1)，则方程gx+hx+c=x在［y0，z0］有唯一解。1977年，波特(A．J．B．Potter)引入并讨论α凹与－α凸算子，接着，万伟勋、秦成林、郭大钧分别在半序Banach空间研究了这两类算子的不动点。1988年，颜心力在弱σ－备半序线性空间分别获得这两类算子的和与积的不动点。1992年，颜又将此结果推广到二元算子：设P是弱σ－备半序线性空间E上的正锥，
，0＜α＜1，
是α凹凸混合单调算子，则存在唯一的
使得A(x*，x*)=x*在半序线性空间求解算子方程，近年来有一系列开创性工作(例如孙经先等)，但还有大量问题有待进一步研究。另外，对映拓扑空间到半序空间的变分不等式理论也有许多工作可作。【参考文献】：1 Potter A J B．Quart．J Math，Oxford，1977，29(2)∶93～992 张上泰．数学学报，1984，27(2)∶256～2633 史树中．数学年刊，1985，6A(4)∶431～4384 Luxemburg W A J．Algebra and order(Luming-Marseille，1984)，Belin，1986，223～2295 Nowak M．Comment Math Univ Carolin，1989，30(2)∶261～2796 孙经先．数学学报，1989，32∶457～4637 Yan Xin-li，et al．Appl Math Mech，1991，12(9)∶863～8708 颜心力，应用数学，1991，4∶107～1149 Yan Xin-li．Math Japonica，1992，37(3)∶519～527(西安建筑科技大学颜心力教授撰)