【实数的有理逼近】
拼译：approximation to real numbers by rationals
人们经常遇到无理数的近似计算问题，由此产生了用有理数逼近无理数的误差估计问题，这就是丢番图(Diopha-ntine)逼近论的一个最基本的研究课题，即实数的有理逼近。它主要包括单个实数的逼近与多个实数的联立逼近，齐次逼近与非齐次逼近。
1842年，狄利克雷(Dirichlet)利用抽屉原理首先证明了实数有理逼近的一个结果：如果α是任意实数，Q是大于1的实数，那么存在整数对p，q，满足两个不等式1≤q＜Q和｜αq－p｜≤Q－1。由此可得，如果α是任意无理数，那么存在无穷多对互素的整灵敏对p，q，满足不等式：
。1891年，胡尔维茨(Hurwitz)将上式改进为：
，并指出：对于某些无理数，常数
是最佳值，不可再减小。1903年，波莱尔(Borel)利用连分数理论给出了胡尔维茨定理一个更具体的新的证明。与此同时，由于数的几何的发展，1896年，闵可夫斯基(Minkowski)利用凸体定理证明了其著名的线性型定理。线性型定理的证明对实数有理联立逼近问题的研究起到了很大的推动作用，由此而产生了一批关于齐次与非齐次联立逼近的重要结果。从18世纪中期到19世纪初所获得的这一系列研究成果，近百年来一直被用作实数有理逼近问题研究的重要工具。从20世纪初期到中期，实代数数的有理逼近问题变为这一研究课题的热点。刘维尔(Liouville)在1844年提出：如果α是次数为d的实代数数，u＞d，则不等式：
，只有有限多个有理解p／q。根据这一结果，刘维尔构造出历史上的第一个超越数：α
。1909年，图埃(Thue)将其改进为
。1921年，西格尔(C．L．Siegel)将其改进为
。1947年，戴森(F．J．Dyson)对其做了进一步改进。尽管有这些改进，但它们都与代数数的次数有关。1955年，罗斯(Roth)得到了与代数数的次数无关的最好结果，即μ＞2。由于一重要结果，罗斯获得了1958年菲尔兹奖。1970年，施密特(W．M．Schmidt)将罗斯定理推广到了多个实代数数的联立逼近问题，给出了对应的实代数数联立逼近定理。关于罗斯定理的一系列研究工作大大推动了越超数以及不定方程的研究。从20世纪60年代末起，实数的有理逼近研究进入了一个新的研究时期，这一时期研究工作的两个明显特点是：研究工作趋向于细致性以及应用性。近年来，Rorh定理的研究仍有继续。Roth工作的根本限制在于它是非有效的。1968年，贝克(A．Baker)成功地证明：对于任何次数n≥3的代数数以及任何k＞n，皆存在可以计算的常数c＞0，使得：
。对于所有整数x，y(x＞0)成立。这一有效性逼近结果在数论中有很多重要应用。1982～1984年，雷省特(E．Reyssat)、丘季诺夫斯基(G．V．chudnovsky)以及其他一些数学家用Padé逼近等不同方法先后研究了log2，
，π2等无理数的Roth型逼近，给出了一系列有效性逼近定理。1987年，鲁哈泽(E．A．Rukhadze)对log2，π2的Roth型逼近进行了改进。同年，杜比茨卡斯(A．Dubitskas)使用多项式、行列式以及适当的估计改进了
的有理逼近，并将其研究成果用于微分方程的研究工作中。对于其它型的单个实数的有理逼近也趋于细致化。例如，1984年贝拉(A．Balog)等人使用傅立叶(Fourier)展开与指数和讨论了用无平方因子数的丢番图逼近，对于形如e，
，
，
和
等无理数的有效性逼近的研究也取得了不少重要结果。在对实数的联立逼近方面的研究细致化也极为明显。1979年，朱尔卡特(W．Jurkat)等人讨论了关于最好的2维丢番图联立逼近以及它们的算法。1984年，哈曼(Glyn Harman)使用丢番图逼近的度量定理以及特征和估计研究了用非平方因子整数的逼近。其后，图恩希尔(P．Thurnheer)研究了用一定整数对的联立逼近。1988～1989年，贝拉等人讨论了用素数的联立丢番图逼近问题，斯密特(Shmidt)等人对于2维非齐次联立逼近进行了研究。近年来，实数有理逼近的另一个研究趋势是应用性，即人们开始注重于将研究工作引入并运用于其它研究领域。1983年，丘季诺夫斯基(D．V．Chudnovsky)等人对线性微分方程解的有理逼近进行了讨论。1986年，罗基特(A．Rochktt)发表了《丢番图逼近论中的一个局部定理以及其对于Pell方程的应用》一文。1988年，拉尔谢(G．Larcher)讨论了有关连分数的收敛问题及其在自动论中的应用。以及人们对于经济学研究问题中所遇到的实数α的有理逼近问题的研究。他们的一系列研究工作为实数的有理逼近的研究开辟了新径。20世纪70年代以来，关于实数的有理逼近的一些古典问题的研究仍然是人们研究的一个热点，每年都有一批研究成果见诸于各种数学杂志。例如，Dirichlet定理以及连分数理论的研究仍然是实数有理逼近的重要研究课题。从研究技术角度讲，古典的研究结果如连分数理论、Dirichlet定理、Minkowski定理等依然为重要的研究工具。近年来，在实数有理逼近的大量研究中还采用了解析方法、矩阵理论、特征和以及筛法等数学研究工具，同时计算机技术也得到了一定程度的应用。实数的有理逼近是一个研究内容极为丰富的课题，同时也是一个十分棘手的研究课题，存在着许多难点，而要解决这些难点则困难重重，其中有一部分问题依靠目前已有的研究技术是无法解决的。关于这方面的内容，W．M．Schmidt曾作过较为详细的介绍。实数有理逼近的应用将是今后具有前途的一个研究方向，实数、有理逼近的研究成果一直是各学科领域研究中的一个重要工具。如能将实数的有理逼近问题的研究与具体学科有机地结合，将会对整个科学的发展起到积极的推动作用。【参考文献】：1 Baker A. Tans Roy Soc London,A263(1967-1968):173～ 191,193～2082 Jurkat W,et al.Math Ann,1979t244(l):l～323 Schmidt W. Progress in Mathematics Birkhauser, 1983,271 ～2874 Harman.Glyn J. London Math Soc, 1989,39(3):405～413(西北大学袁进副教授撰；潘承彪审)