【Klein群的有限性定理】
拼译：finiteness theorems in the theory of kleinian groups Klein
群理论是19世纪Schottky、Klein和Poincare创立的。此后长期没有得到充分地发展。直到近年来，由于Thurston的工作，Klein群的几何与拓扑的方法才得到明显的进展。Klein群的解析理论是从1964年Ahlfors的文章《Finitely generated Kleinian groups》开始的。文中的Ahlfors有性定理是解析理论的基础。从此，有限生成的Klein群曾一度成为Klein群理论研究的中心课题。
设Г是一个Klein群，Ω=Ω(Г)是Г的全不连续区域，
是它的极限集，则轨道空间Ω(Г)／Г是一些Riemann曲面的并。如果△是Ω的一个分支，Г△是△的稳定子群，则△／Г△是分岐的Riemann曲面。两个分支△1，△2称为共轭的，如果有γ∈Г，使得γ(△1)=△2。如果△1，△2，…，是Г的两两不共轭的完备的分支，Гj=Г△j，则(1)Ω(Г)／Г≈∪△1／Г1+∪△2／Г2+…称Klein群Г在分支△上是有限型的，如果△／Г△是由一个紧Riemann曲面去掉有限个点得到的。称Klein群Г是有限解析型的，如果它只有有限个非共轭的分支，而且在每个分支上都是有限型的。Ahlfors得到Ahlfors有限性定理：有限生成的Klein群是有限解析型的。这个定理的逆定理是不真的。1967年Bers得到更精细的结果。如果Г是非初等的Kelin群，Ω的每个分支△都有Poincare度量，而且这个度量可以诱导到Ω／Г上。这时可以计算出Ω／Г的面积Area(Ω／Г)。Г是有限解析型的，当且仅当Area(Ω／Г)是有限的。Bers得到两个有限性定理，其中Bers第一有限性定理也称为面积定理。Bers面积定理：如果Г有N个生成元，则Area(Ω／Г)≤4π(N－1)。Bers第二有限性定理：如果K(Г)为Ω／Г的分支数，则K(Г)≤18(N－1)。Bers的面积不等式是准确的，当Г是Schottky群时等式成立。对分支数不等式，Maskit猜测K(Г)≤2(N－1)，至今尚未证实。20世纪70年代Kra［3］研究了Klein群的自守形式和Eichler上同调理论，这一理论更适合于讨论有限性定理。一个Ω上的可测函数μ称为权(－2q)的自守形式，如果
(γ(z))γ′q(z)=μ(z)，对一切γ∈Г成立。对q≥2，
为Ω上有界的自守形式空间，Bq(Ω，Г)为它的全纯子空间。设П2q－2是阶数不超过2q－2的多项式全体，群Г按规律：
右作用在П2q－2上。映射x：Г→П2q－2称为上闭链如果x(γ1·γ2)=x(γ1)·γ2+x(γ2)，对一切γ1，γ2∈Г成立。对每个P∈П2q－2，映射x∶γ→P·γ－P称为上边缘链。显然，上边缘链必是上闭链。一阶Eichler上同调群Н1(Г，П2q－2)是上闭链除以上边缘链所得的商空间。如果Г是有限生成的，生成元个数为N，则dimH1(Г，П2q－2)≤(2q－1)(N－1)。当Г是有限生成的自由群时等式成立。设A∈Г是一个抛物元素。一个上同调类［x］称为关于A是抛物的，如果存在v∈П2q－2，使得x(A)=v·A－v。PH1(Г，П2q－2)是关于Г中所有抛物元素都是抛物的上同调类。PH1(Г，П2q－2)是Н1(Г，П2q－2)的子空间。给定一个有界的自守形式μ位势Fμ(z)是全平面上的连续函数，且xμ∶γ→
是一个上闭链，从而得到Bers映射
。βq*限制在全纯自守形式空间上，Ahlfors证明
是单射，Kra［3］证明当Г是有限解析型时
是单射。Bers猜测βq*总是单射，此猜想对一般情况尚未证实。对Klein群Г总可得到蕴含关系。
(湘潭大学王键教授撰)