【计算力学非线性分析】
拼译：nonlinear analysis of computational mechanics
计算力学问题，不管它是连续介质力学系统还是有限自由度问题，用数值方法求解时最终归结于在计算机上求解一些基本的数学问题。从计算角度看，这些基本问题的求解规模，表征了发展的水平，它们可以归结为如下4类问题：
1．Ac=b， x，bεRn，AεRmn为非退化矩阵2．AX=λX， λεC，XεCm，AεRmxn3．f(x)=0，f，xRn4．x=f(xλ)，x，fεRn，λεR这些问题就是：(1)线性代数求解；(2)特征值问题；(3)非线性方程组求解问题；(4)动力系统的全局求解问题。这些问题中n的大小决定了计算力学解题能力与发展水平。目前的情况是：(1)线性代数方程求解能力，由于采用了稀疏矩阵、消去法等一系列技巧，n可以达到10万阶。(2)特征值问题如果要将全部特征与特征向量求出，一般解题规模n＜1000。(3)如果要将全部实的和复根都求出来，n＜100。(4)要将动力系统解的拓扑结构描绘出来，并求出分叉解和各种特殊轨道，目前n=10就已经十分困难了。这个总的发展水平意味着，对线性问题来说，大部分实际问题可以满足要求，但对非线性2、4来说距离甚远。值得注意的是，上述第2类问题，也可以化归为第3类来求解，即令λ=x0有
为一个二次联立方程组，共有n+1个方程
这就是说上述2．3．4．类问题之所以求解规模仍不能满足需要是因为它实质上是属于非线性的。对于实际上比较重要的一大类非线性问题，近年来人们开发了不少有效的算法。其中最重要的是如下两个方法，即延续算法和单形算法。前者发端于计算力学中的荷载增量法；后者发端于数值求解一元非线性方程的二分法。延续算法 令f(x，λ)=0 x，f∈Rn，λ∈R (1)
求(x，λ)满足上式。它的解一般是一维流形，并设去(x0，λ0)是已知的解流形上的一点。解流形是Rn+1中的曲线，不妨记λ=xn+1，则(1)可写为f(x)=0，f∶Rn+1→Rn (2)
(2)的微分为
令J=(J1，…，Jn+1)其中
式中令
表示在
中删去第i列。可以证明向量J满足方程(3)，将J标准化，引进单位向量
我们来求解(1)的问题化归为微分方程初值问题
利用通常的预报修正办法可求得解x=x(s)，参数s称为弧长。所以这一方法又称为伪弧长法。利用它可以成功地渡过结构计算中的极值点。这个方法在数值方法上的发展对应于数学家所称的同伦算法，并成功地应用于求特征值特征向量和求解非线性方程组等问题。
单形算法 考虑非线性方程组f(x)=0，f∶Rn→Rn (7)
设
，我们要在Ω内求f(x)=0的根，为此在Ω内引入离散点，并以这些离散点组成Ω的一个单形剖分。这个思想和有限元剖分有某些类似，在单形｛x0，x1，x2，…，xn｝上它的顶点xi(i=0，…，n)的坐标组成的行列式
令在单形顶点xi上f(xi)=fi∈Rn(i=0，1，…，n)，则当在单形上存在向量w=｛w0，…，wn｝∈Rn+1在0≤ωi≤1(i=0，…，n)内线性方程组
有解时，称这个单形为完全单形。当f(x)足够光滑，单形充分小，在单形上总存在
满足
f(x*)=0 (11)
一旦找到了一个完全单形，便可以将这个单形加细分为2n个小单形，并逐个检查它的完全性。从而使x*是足够精确地表示。对于n=1时，便归结于通常的二分法解一元非线性方程。总结这两个非线性算法，都把求解非线性问题归结为分步线性问题。由于目前线性问题计算能力已达到相当大的规模，所以这类非线性问题的计算能力也在一定程度上达到满意的结果。延续算法从一点开始，可以把解曲线追踪到充分远。而单形法，可以将一个解逼近到充分精确。当然延续算法如果碰到解曲线的分叉点，则还存在实际的困难需要克服。考虑动力系统
，f∶Rn×R→Rn (12)
并令(x0，λ0)为平衡曲线上的某一点，它满足
f(x，λ)=0 (13)
满足(13)的全部解称为静平衡曲线。曲线上的分叉点定义为(x，λ)满足
Reμ=o(14)
这里μ为(
)的特征值。如果在分叉点Imμ=0，这时具有零特征值，这种分叉对应于静分叉，物理上反映平衡曲线两个以上解分支的交点；否则称为Hopf分叉，物理上反映出现极限环的运动。
(北京大学武际可撰)