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单词 优美图、鲍丹狄克猜想
释义

【优美图、鲍丹狄克猜想】
 

拼译:Bodendiek conjecture about graceful graphs
 

一个点集V以及V中某些点对连线(边)的集合E,就构成一个图(graph)。现实世界任何一个离散事物集合以及这集合中两元素间的一种关系,都可用图作数学模型。最早的图论论文是欧拉(Euler)1736年写成的关于哥尼斯堡(Königsberg)七桥问题。20世纪60年代以来,随着近代科技特别是计算机的应用,使图论在理论上迅速发展,并在自然科学、社会科学和近代科技的许多方面,都有广泛、重要的应用。

对于简单图G(V,E),若每一个顶点v∈V,存在一个标号ψ(v)∈{0,1,2,…,|E|};不同顶点的标号不同;uv∈E,|ψ(u)-ψ(v)|称为边uv的标数,且不同边的标数不同,则称G为优美图(graceful graph)。由于优美图在编码理论、x-射线晶体学、雷达、通讯网络和无线电天文学等方面有实际应用,并且大多数图不是优美图,从而论证图的优美性,便成为比较活跃的课题。邦迪(Bondy)和默蒂(Murty)1976年提出50个未解决的图论难题,优美图问题是其中第15个。至今未解决的重要问题是如何判别一个图是否是优美图。解决此问题是非常难的,部分原因是由于目前缺乏较系统有力的研究工具;并且优美图的子图未必还是优美图,也给优美图的论证带来障碍。所以当前国内外学者只囿于寻求某些特殊图类的优美标号。树是优美图的猜想,现已得到众多结果,但离完全解决还相差甚远。鲍丹狄克(Bodendiek)猜想一个圈加一条弦是优美图(连接圈上不相邻两点的边称为弦),于1977年提出,它的几个特殊情形也同时得证。这个猜想也是很难的。经过近4年的努力,才由德劳姆(Delome)等于1980年给出证明。随后冯成进于1983年、陈志增于1986年也分别独立地给出证明。一般证法大多是找规律直接标号,再证明是优美标号。陈志增一改直接标号方法,引进GL矩阵,通过GL阵的运算,证得该猜想。由于GL阵方法在一定范围内较为有力,故随即用GL阵于1986~1991年证得13odendiek猜想的一种推广:连接两个顶点的3条独立路所成简单图是优美的(其中有3种特殊情形的结论略有变通),并证得其它一些优美图类。与此同时,柯赫(Koh)等于1982年证得该猜想的另一种推广:从圈上一点任意引2(或3)条相邻的弦,构成优美图;并且在圈Cn=v1v2v3…vnv1中,引所有可能使i≥P的弦v1vi(3≤p≤n-1),所成的图记为Cn(P),又证得Cn(3)是优美图。此后马旭东于1988年证得当p≡0,3(mod4),Cn(p)是优美图;同时他又进一步推广,证得从Cn(3)的v1向Vi连接ki条与Cn没有公共内点的长为2的路(整数ki≥1,i=2,3,…,n),且所有路相互独立,也构成优美图;他还证得另一种特殊多弦圈的优美性。

今后若干年内,下列几个图类是否优美图,可能会被关注:(1)连接两个顶点的多条独立路所成简单图。(2)一般的有一个公共顶点的多条弦的圈。(3)一般多弦圈。(4)多圈共弦图,等等。鉴于当前尚缺乏系统有力的理论工具,看来只能从这些图类的特殊情形,逐步证起,并且一般说是很困难的。

【参考文献】:

1 Bondy J A, Murty U S R. Graph Theory with Applica-tions. Macmillan,1976

2 Bodendiek R, et al. Elemente der Mathematik,1977,32:49

3 Delome C, et al. Journal of Graph Theory ,1980,4:409

4 Koh K M, et al. Bull Malaysian Math. Soc, 1982,5(2):49 ~63

5 冯成进.科学通报,1983,13

6 陈志增.内蒙古师大学报,1986,3∶1~9

7 Ma Xudong.J Math Res & Exposition,1988,2∶215

9 Chen Zhizeng.Physica-Verlag(Heidelberg,FRG),1990,737~746

9 陈志增.内蒙古师大学报,1991,3∶11

(内蒙古师范大学陈志增教授撰)

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