【Chebyshev集的太阳性和凸性】
拼译：Chebyshev sets′solar properties and convoxity
设E为赋范线性空间，M为E中子集，令
，
PMt=｛m；m∈M，‖x－m‖=d(x，M)｝
若对任何x∈E，PMx≠Φ，则称M为存在性集，如
，PMx为单点集，则称M为Chebyshev集。
有m∈PMxt，其中
，则称M为太阳集。为了讨论Chebyshev集和太阳集、凸集间的关系，还需知下述概念：M为有界紧集：M与E中任何球的交集是紧集。M为逼近紧集：
满足‖x－mn‖→d(x，M)时，必有子列
收敛。E为光滑空间：f∈E*满足‖f‖=1f(x)=‖x‖称为x点的支撑泛函。如果对每一x∈E，支撑泛函唯一，称E为光滑空间。E为一致凸空间：
，
，由‖x‖=‖y‖=1及‖x+y‖＞2－δ可推得‖x－y‖＜ε。Chebyshev集、太阳集、凸集三者间的关系：(1)Banach空间E中有界紧Chebyshev集必为太阳集。(2)光滑空间E中存在性太阳集必凸。(3)一致凸空间E中逼近紧Chebyshev集必为太阳集。(4)实C(x)中逼近紧Chebyshev集是太阳集。Dunham于1975年在C［0，1］中举出Chebyshev集不是太阳集的例，说明(4)中逼近紧不能省。例：设ψ，R+→R 严格单调并满足ψ(0)=1，
则M=｛Va，a≥0｝是C［0，1］中Chebyshev集，但不是太阳集。
对Hillert空间H，由(2)(3)有：逼近紧Chebyshev集
存在性太阳集
凸集。去除逼近紧条件，在Hillert空间H中，Chebyshev集是否一定是凸集?这是至今未解决的问题。当H不完备时，Johnson于1987年给出上述问题的否定解答，在内积空间中给出不凸的Chebyshev集例：E=｛(x1，x2…xn…)；xn∈R，｛i；xi≠0｝；xi≠0｝为有限集｝。令
，1=A0＞A1＞A2＞…＞0，L0=F0=1
归纳地定义：
命
，
，则M为E中不凸的Chebyshev集。
，
即QMx为M对x最远点全体。
如对
，QMx均为单点集，则称M为唯一远达集。对赋范线性空间E，可讨论关于∑=｛x；‖x－c‖=r｝的反演变换f(x)=c+(r2／‖x－c‖2)(x－c)
易见
f：E＼｛c｝→E＼｛c｝
当E为内积空间时，Klee指出：当S是E中不通过c的球面时，f(s)也是球面。利用上述反演变换，Klee证得下列论断有(2)
(1)：(1)E中任何Chebyshev集是凸集；(2)E中任何唯一远达集是单点集。虽然对许多具体空间，证实了唯一远达集的单点性，但对Hillert空间，这仍是一个悬而未决的问题。对Hillert空间H的有界子集M，数
称为M的Chebyshev半径。满足
的c∈H称为M的Chebyshev中心。对Hillert空间的有界子集，Chebyshev中心存在且唯一。
Astaneh于1983年证得下述结果：M是Hillert空间H中唯一远达集，c、r(M)为M的Chebyshev中心和Chebyshev半径，则M或为单点集，或对x∈(c，q(c))有
其中q(x)为远达点映照。
最后，介绍关于几乎Chebyshev集的一些结果：Stechkin于1963年对赋范线性空间E中子集M，引进唯一性集TM=｛x；PMx为单点集，x∈ E｝。如果E＼TM至多是第1纲集，则称M为几乎Chebyshev集。并且证明'一致凸空间中任何闭集都是几乎Chebyshev集。1978年K．S．Lau将Stechkin的结果推进到自反、局一致凸空间。这里局一致凸的意义为：记s=｛x；x∈E，‖x‖=1｝，
及x∈S，
，当y∈s，‖x+y‖＞2－δ(x)有‖x－y‖＜ε。K．S．Lau同时举例说明：条件自反不可省，局一致凸不能减弱为严格凸。1990年李冲将K．S．Lau的结果推广到K局一致凸空间，证得自反的K局一致凸空间的任何闭子集是几乎k－Chebyshev集。K局一致凸是指：
，x∈S，
对任何x1，x2…xk∈s及‖x+x1+…xk‖＞k+1－δ(x)有Sup
K几乎Chebyshev集意义是：对PMx定义维数 dimPMx=dim［Span(PMx－PMx)］，记
BM=｛x∈E；PMx≠Φ且dimPMx＜k｝
若E＼BM至多是第一纲集，则称M是k－几乎Chebyshev集。
不同空间中Chebyshev集特性的研究已有不同程度的展开，随着进一步研究，期望会得到更全面更深入的结果。特别对Hillert空间中Chebyshev集是否是凸集的遗留问题可望得到解决。从单目标逼近到多目标逼近，最佳共同逼近中相应的唯一性集的研究现已初步展开，近期可望得到更多更好的结果。对非线性优化问题，甚至非线性多目标优化问题，对应于某种意义下最优解的唯一性问题也是值得研究的重要课题。【参考文献】：1 EfimovN V.StechkinSB. DANSSSR, 1958,118:17～192 Efimov.N V.StechkinSB. D A N SSSR, 1959,127:254～ 2573 KleeV. Math Annalen ,1961,142:292～3044 Stechkin S B. Rev Roumaine Math Pur Appl, 1963,8:5～ 185 VlasovLP. MathZametki, 1967,2:191 ～ 2006 Dunham C B. Math Bull, 1975,18:35～38 7 L'au K S. Indian University Math J, 1978,27:791～7958 Astaneh A A. Indian J Pure Appl Math ,1983,14,(10): 1311～13179 JohnsonGG. J AT, 1987,51:289～33210 李冲．几乎k－Chebyshev子集，1990，33(2)∶251～258(浙江师范大学徐士英教授撰)