【数值积分法】
拼译：method of numerical integration
直接地完成对动力微分方程的逐步积分得到体系动力响应的方法。如n个自由度体系的动力微分方程：
其中〔M〕、〔C〕和〔K〕分别为n阶质量阵、阻尼阵和刚度阵。｛ü｝、｛U｝和｛u｝分别为各质量的加速度、速度和位移矢量。｛P(t)｝作用在体系各质量上的强迫力矢量。对于线弹性系3个矩阵为常数矩阵，对于弹塑性体系，则3个短阵将随时间和本构方程应力应变关系的变化而改变。求解方程的动力响应，可用振型迭加法、有限差分法以及数值积分法。在一般情况下，动力方程中3个矩阵并不都是对角阵，因此，方程组是耦合的，当n较大时，求解联立方程的工作非常繁重，为使计算得到简化，可以采用坐标变换手段，使方程组解耦，变成n个独立方程：
｛X+〔Δ〕｛X｝+〔Ω2〕｛X｝=〔Φ〕T｛R(t)｝
其中〔Δ〕为对角阵，元素值为2ωiξi，ξi是第i振型阻尼比，〔Φ〕是关于〔M〕阵规格化的特征向量Φ1Φ2……，〔Ω2〕是由特征值(
)组成的对角阵，｛X｝为新坐标系的正则坐标，｛R(t)｝为广义荷载。对于不耦合的方程组，可用杜哈梅(J．M．C．Duhamel)积分精确地求解。
所述算法是无条件稳定的。用平均加速度来表示这一时刻的速度和位移矢量的尚有龙格－库塔法，用前3个时刻的位移、速度和加速度矢量来表示这一时刻的3个矢量有预测－校正的Milne多步法。进入20世纪60年代，对多步法的稳定性问题以及用数值积分法求解动力响应问题有进一步研究，如在1963年G．G．Danlquist对多步法稳定性的研究；1966年D．E．，Johuson对Houbolt法的稳定性问题进行了论证；1967年C．W．Gear着重研究了非弹性体系动力方程的数值积分问题；1968年E．L．Wilson应用直接积分法解地下结构的动力分析问题等等。70年代研究者们对各种格式的稳定性、振幅衰减率、周期增长率进行了较全面的研究，如1971年R．E．Nickell、1973年R．D．Krieg、1976年T．J．R．Hughes等，他们分别对数值积分中近似算子的稳定性问题、方法的收敛性、能量的衰减和周期增长以及数值方法在有限元中的应用进行研究，有代表性的论文是1973年K．J．Bathe和E．L．Wilson的文章，该文为直接积分格式的稳定和精度分析提供了一个系统而又基本的方法。该法在基本格式中引入一个能控制稳定性的参数θ，故称Wolson－θ法，在θΔt时间间隔内加速度呈线性变化，而θ≥1，在已知t时刻的3个矢量后，不是先算t+Δt时刻的3个矢量，而是先超前计算t+θΔt时刻的3个矢量，然后用t+θΔt时刻的矢量退到t+Δt时刻的3个矢量，直至算出全部动力响应。为研究稳定性问题，将基本格式代入非耦合的动力方程，得出用t时刻的3个矢量表示t+Δt时刻的3个矢量关系式，矩阵〔A〕为3×3阶矩阵，当计算n个时间步长之后，矩阵〔A〕成为〔A〕n，设ρ(A)是矩阵〔A〕的谱半径，ρ(A)=max｜λi｜1(i=1、2、3)，λi为〔A〕阵的特征值，若ρ(A)≤1，n→∞时，Jn有界(J是〔A〕阵的Jordan形式)就是稳定准则。此外，如果ρ(A)＜1，则Jn→0且ρ(A)越小，则收敛得越快。并将稳定准则引入到Houbolt法和Newmark法中，研究其稳定性，Wilson－θ法，当θ=1时，是线性加速度法，是有条件稳定格式。当θ=2时，是平均加速度法，为无条件稳定格式，但数值积分导致周期增长和振幅衰减太大。当选取θ=1．37时为无条件稳定极限值和最小误差，一般取θ=1．4。Wilson－θ法具有较强的人工阻尼，振幅衰减太大，只有当时间步长Δt=0．01T(T为周期)时积分是精确的。这种算法对滤掉高频响应是有好处的。从精度比来看，该法好于Houbolt法，从周期增长百分率来看，该法不如Newmark法，而从振幅衰减率来看又优于Nwemark法。从70年代末到80年代，许多数学工作者又提出了多种无条件稳定的积分格式，并从不同的角度改进了前面几种格式，如Hilber－α法以及配置格式；两步法；Bossak的α法；改进的Wilson－θ法；速度有限单元法；Nazzi-Amderheggen的β法以及三参数法等。1977年和1978年H．M．Hilber提出的Hilber－α法及配置格式法，该法在基本格式中引入3个参数(α、β、γ)，主要参数α可对基本动力方程进行匹配，即〔M〕｛üt+Δt｝+(1+α)〔K〕｛Ut+tΔ｝－α〔K〕｛Ut｝=｛Ft+Δt｝，α、β、γ参数控制算法稳定性和人工阻尼，如果α=0，该法退化为Newmark方法族。用Wilson提出的稳定准则，时行稳定分析后得出谱半径ρ(A)≤1，(当取α=0，β=0．25，γ=0．5时，即为Newmark法中的梯形法则，ρ(A)=1)为无条件稳定的一步格式，当α取负值时(α=－0．1～－0．5)，振幅衰减和周期增长率都好于Houbolt法、Wilson－θ法，它具有可连续控制算法阻尼的特点。在特定的条件下可以达到零阻尼。Hilber还提出一种算法具有竞争性所具备的5个属性：(1)对于线性问题的无条件稳定性。(2)在每一步中需要求解的隐式方程不超过一组。(3)二阶精度。(4)在高阶振型中可控制计算散逸。(5)自起步。1978年作者提出了一个具有较高精度，并能控制算法阻尼无条件稳定的两步数值积分法，初提算法时用3个自由参数，后经计算比较在算法中只保留一个参数δ用于控制算法阻尼。当取
时该法无算法阻尼。在特定情况下，当
时，致使解中高振型响应可以有效地被滤掉，且有Wilson－θ法的特点。该法以Simpson法则为依据，在每两步时间间隔内加速度呈二次曲线变化。当t－Δt时刻及t时刻的位移、速度、加速度矢量已知时，t+Δt时刻3个矢量即能唯一确定。基本格式中是用前两个时刻的4个量值来描述这一时刻的3个量值。在应用Wilson－θ法提出的稳定准则时，需将3×4阶矩阵〔A〕转换为4×4阶矩阵〔A1〕，分析〔Al〕矩阵得出它的特征方程λ4－λ3－λ2+λ=0，特征值｜λi｜=1，(i=1，2，3，4)，即ρ(A)=max｜λi｜=1。该法当取δ
时，则无振幅衰减率、周期增长率。若不考虑周期增长，振幅、衰减率都小于Newmark法、Collocation法、Wilson－θ法、Hilber－α法。该法唯一的缺点是需有起步公式。1980年L．W．Wood和M．Bossak提出的Bossak－α法，实为Newmark法改进的一种方法。杨真荣提出的速度有限元法，为数值积分法的两步法形式，而在稳定证明中用3×3矩阵来求3个根，讨论谱半径问题。1981年孙焕纯提出的改进Wilson－θ法，该法主要假定加速度在时间步长内是时间的二次函数，即
，其中｛A｝、｛B｝分别表示加速度的一次和二次变化率，在n个自由度体系中是2n维向量。1988年邵慧萍等提出的三参数(α、β、δ)算法，该算法可包括Newmark法(令α=δ=0)、Hilber－α法(令α=0)和Bossak的α法(令δ=0)。它具有无条件稳定的性质，是二阶单步算法，且具有合适的算法阻尼。该法和Wilson－θ法等方法比较，需要的内存量和CPU时间基本一致，而在相同的ρ(A)值前提下，该算法的精度有所提高。从众多算法看来，算法的精度一个比一个好，而同时都能满足无条件稳定的准则，且大都有参数可调人工阻尼，所以数值积分法已达相当高的水平。【参考文献】：1 Hilber H M, Hughes T J R. Earthq Engng and stract Dyn, 1978,6:99～1172 Wood W L, Bossak M & Zienkiewicz O C Intern. J Nemer, Meth Engng, 1980,15:1562～15663 孙焕纯．力学学报，1981，2：153～1644 丁树人．固体力学学报，1983，3：333～340(太原工业大学丁树人教授撰)