【变率配直法】
拼译：method of rate collocation
可直接求解微分方程近似解的数值方法，是加权残数法中一个新的基本方法。加权残数法的解题思想远在20世纪30年代即提出，那时主要应用于数学领域，到50年代，这一方法才正式被归纳统一为加权残数法，又称加权残值法或加权余量法。该法分析问题时，先假定一个试函数作为近似解，将试函数代入控制微分方程和边界方程或初始条件，一般不能满足而出现残值，用RI和RB分别表示控制微分方程的残值和边界方程的残值。这些残值在整个域内(V)或在边界(S)上，须按某种平均意义来消除残值，根据不同的条件引入不同的权函数W乘以残值使其为零，基本方程为： 
其中Wi和Ti分别为在域内和边界上(或初值)所采用的权函数，由此可得到消除残值的方程组，它是一系列线性或非线性的代数方程组，联立求解这些方程组，便得出满足控制微分方程和边界条件的近似解。若假定的试函数满足边界方程(或边界条件)即RB=0，仅用｜vRIWidv=0式而消除残值RI，则称内部法，若假定的试函数满足控制微分方程，即RI=0，仅用 式消除残值RB，则称边界法，否则称混合法。 不同的权函数Wi反映在消除残值时的不同准则，加权残数法可根据不同的权函数而得到不同的基本方法，通常有以下几种形式：(1)配点法；(2)最小二乘法；(3)子域法；(4)伽辽金法；(5)矩量法。加权残数法的基本特点是：在理论方面它直接从控制微分方程出发求解问题，简单易懂，不象变分法那样需要复杂的数学处理，又由于它的应用与问题的能量泛函是否存在无关，因而它的应用范围较广，是半解析法的一种，即解析法与离散结合的方法。在计算方面，计算程序十分简单，所需求解的代数方程组的阶数较低，计算机内存容量要求不高，可以充分发挥微机的作用。此外，加权残数法在求得结果的同时，可以给出残值的大小，而残值的大小可以直接反映出解答的精确度，这一优点较为独特。加权残数法从70年代末引入固体力学中以来，不论在理论上还是在工程应用中，新方法的提出和应用都取得了较大的发展。1982年中国在厦门召开了第1届“全国加权残数法学术交流会”，会上就有64篇学术论文发表，随后又召开了第2届、第3届学术会议。1986年日本国际计算力学会议和美国第1届计算力学世界大会，中国的MWR Method of Weighted Residuals论文最多。到1990年底，中国力学工作者在国内外各种学术会议和刊物上发表的MWR论文超过500多篇，范围广泛地涉及到各个学科。如该法可解弹性力学中的平面问题；三维问题；在板壳中的薄板弯曲问题；大挠度问题；稳定问题和动力响应问题；中厚板的静、动问题以及非线性结构的静、动力问题。在上面提到的5种基本方法中，配点法是MWR中使用的最简单的一种方法，最易于同其它方法结合使用，因此应用极为普遍(国外使用的MWR就以配点法为最多)。但一般单纯配点法精度较低，故国内的许多学者大大地发展配点法，如样条伽辽金配点法、矩量配点法、能量配点法、最小二乘配点法、配线法、分段配线法、变率配点法、变率配线法、变率配面法以及变率配置混合法。80年代末，姜开春等提出在概念上与其他MWR不同的变率配点法，主要特点是在低阶微分空间处理残值，它扩充了配点法的概念，也为MWR在数值方法求解中开辟了一条新的途径。其精度在同样网格下高于一般配点法，但需考虑残值方程式的波动情况，且在集中力作用时不能求导，应用时也有一定困难。1991年太原重型机械学院姚河省硕士研究生论文对该法进行研究，提出变率配线混合法及变率配面法，解决了变率配点法对集中力不能求导的问题。同样以四边简支薄版为例，采用3×3到11×11的均匀网格划分，同时用配点法、配线法、变率配点法和变率配线法进行计算，结果表明，在同样网格划分条件下，变率配置法比一般配置法计算结果好。在集中力作用下分别用配面法和变率配面法进行计算，变率配面法比配面法收敛更快。另外，将配线法和变率配点法联合使用，计算正交各向异性单层薄板受均布载作用时的中点位移，效果良好。1992年太原工业大学郭胜利硕士研究生把变率配置法(配点、配线及配面法)推广到解中厚板的静、动力问题，先将厚板方程化为可解形式(有限阶)，经过数学处理得出以中面挠度W表示的厚板方程：
其中D=Eh3／12(1－μ2)，▽2为对x，y的二维拉氏算子，h为板厚，P为分布载荷。 
取试函数 满足边界条件，则残值为： 
引进算子列阵 ，则令｛T｝RI=｛0｝，即能求出系数Aij。 这种方法是：设问题的控制微分方程及边界条件已知，取方程的近似解为 ，其中U为试函数，φi是一组线性无关的基函数，Ci为任意常数。将试函数代入求解方程，则有残值｛R｝，引入残值变化率算子T，并作用于残值，则有
式中 为域内的j阶微分算子， 为域内的矢； 为沿边界S的j的阶微分算子， 为边界S上的矢。令试函数U的残值变化率函数T｛R｝在闭域V上的加权积分等于零，即∫vW〔TR〕clv=0。W为权函数，随着不同的权函数和不同的变率配置方式可得不同的变率配置法。 变率配点法：当权函数W取为点源函数狄拉克δ函数时有：
变率配线法：取权函数W为线源函数Wk时，则有： 
变率配面法：当取试函数W取为面源函数Wi时，则有： 
该法高阶变率理论是可行的，而目前尚无高阶变率算例。另一方面，将该法如何引入到扁壳的静动力中去的问题，还有待进一步研究。 【参考文献】：1 姜开春，王德满．固体力学学报，1988；42 姚河省，太原重型机械学院硕士研究生论文，19913 戴少度，姚河省．力学在工程中的应用．北京：中国林业出版社，1992．345～3484 丁树人，郭胜利．计算力学理论与应用．北京：中国科学出版社，1992．124～1275 郭胜利．太原工业大学硕士研究生论文，1992(太原工业大学丁树人教授撰) |