“分形”的概念、定义、翻译、参考文献-科学参考

单词

分形

释义

【分形】

拼译：fractal

1975年，法国曼德尔布罗特(B．B．Mandelbrot)首先采用分形一词。分形，指的是一类处处连续但处处不可微的几何对象。数学上的定义是，分形指豪斯道夫维数dH严格大于拓扑维数d_T的集合。但更方便的定义是：一类具有伸缩对称性其局部以某种方式(自相似性或自仿射性)与整体相似的形体叫分形。研究分形形态、数量表征及其构造演化的科学称为分形几何学(或分形理论)。

自然界的分形几何理论，是现代数学的一个新分支，它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成，它的方法已成为科学家和工程师们处理自然与工程中不规则图形的强有力的理论工具，已在数学、物理、化学、生物、医学、地质、地震、材料、音乐、美术、经济等许多领域广泛应用。

1875年，德国维尔斯特拉斯(K．Weierstrass)构造了处处连续但处处不可微的函数。德国康托(G．Cantor)构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年意大利皮亚诺(G．Peano)构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典科契(H．Von Koch)设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰谢尔宾斯基(W．Sierpinski)设计了像地毯和海绵一样的几何图形，这些都是解决分析与拓扑学中的问题提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。1919年，德国豪斯道夫(F．Hausdorff)开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。1928年布利干(G．Bouligand)将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金(L．S．Pontryagin)等引入盒维数。1934年，贝塞考维奇(A．S．Besicovitch)更深刻地揭示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，从而产生豪斯道夫－贝塞考维奇维数。以后，这一领域没有引起更多人的注意。先驱者们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而记载下来。

1960年，曼德尔布罗特在研究棉价变化的长期性态时，发现价格在大小尺度间的对称性；同年在研究信号的传输误差时，发现误差传输与无误差传输在时间上按康托集排列；在对尼罗河水位和英国海岸线的数学分析中，发现类似规律。他总结出自然界中很多现象从尺度变换角度表现出的对称性。他将这类集合称作自相似集，其严格定义可由相似映射给出。他从欧氏测度不能刻划这类集的本质，转向维数的研究中，发现维数是尺度变换下的不变量，他主张用维数来刻划这类集合。1975年，曼德尔布罗特用法文出版了分形几何第一部著作《分形：形、机遇和维数》，1977年该书的英文版将分形定义为豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数的集合。总结了根据自相似性计算实验维数的方法。由于相似维数只对严格自相似这一小类集有意义。豪斯道夫维数虽然应用广泛，但在很多情形下难以用计算方法求得。因此分形几何的应用受到局限。1982年，曼德尔布罗特的新著《自然界的分形几何》出版，书中讨论了数学、物理、天文、地理、生理、经济学等多种学科中的分形问题，并重新研究了盒维数。为避免稠密可列集盒维数与集所在空间维数相等的缺陷，1982年特里科特(C．Tricot)引入填充维数，1983年格拉斯伯格(P．Grassberger)和普罗克西娅(I．Procaccia)提出根据观测记录的时间数据列直接计算动力系统吸引子维数的算法。1985年，曼德尔布罗特提出并研究自然界中广泛存在的自仿射集，而自相似集则可通过仿射映射来严格定义。1982年德金(F．M．Dekking)研究递归集，这类人形集由迭代过程如嵌入方法生成，使用范围更广泛，但维数的研究非常困难。德金获得维数上界，1989年，钟红柳等人解决了德金猜想，确定了一大类递归集的维数。随着分形理论的发展和维数计算方法的逐步提出与改进，1982年以后分形理论逐渐在很多领域得到应用并越来越广泛，建立简便易行的维数计算方法，以满足应用发展的需要，还是一项艰巨的任务。

自然界中的分形，与概率统计、随机过程关系密切，确定性的古典分形集加入随机性，就会产生出随机康托集、随机科契曲线等各种随机分形。1968年，曼德尔布罗特研究布朗运动这一随机过程时，将其推广到与分形有关的分数布朗运动。1974年他又提出分形渗流模型。1988年，柴叶斯(J．T．Chayes)给出了详细的数学分析，1984年，扎乐(U．Zähle)通过随机删除而得到十分有趣的分形构造。随机分形能更真实地描述和模拟自然现象。

动力系统中的分形集是近年分形几何中最活跃和最引人入胜的一个研究领域，动力系统的吸引子通常都是分形集。它们产生于非线性函数的迭代和非线性微分方程中，1963年，洛伦兹(E．N．Lorenz)在研究流体的对流运动时，发现后来以他的名字命名的第1个奇异吸引子，这是一个典型的分形集。1976年法国伊侬(M．Hénon)考虑标准二次映射迭代系统时获得伊侬吸引子，它具有某种自相似性和康托截面的分形性质，1986年劳威尔(H．A．Lauwerier)将斯梅尔的马蹄映射变形成劳威尔映射，其迭代下不稳定流形的极限集成为典型的奇异吸引子，它与水平线的截面为康托集。1985年，格雷波基(C．Grebogi)等构造了1个二维迭代函数系统，其吸附界是维尔斯特拉斯函数，并得到盒维数。1985年，迈克多纳(S．M．Mac Donald)和格雷波基等得到分形吸附界的3种类型：(1)局部不连通的分形集；(2)局部连通的分形拟圆周；(3)既不局部连通又不是拟圆周。前两者具有拟自相似性。

动力系统中另一类分形集来源于复平面上解析映射的迭代。居利亚(G．Julia)和法图(P．Fatou)于1918～1919年间开创这一研究，他们发现，解析映射的迭代把复平面划分成两部分，一部分为法图集，另一部分为居利亚集(J集)。他们在处理这一问题时还没有计算机，完全依赖于他们自身固有的想象力。1980年，曼德尔布罗特用计算机绘出用他名字命名的曼德尔希罗特集(M集)的第一张图，1982年道迪(A．Douady)构造了含参二次复映射f_c。其居利亚集J(f_c)随参数c的变化呈现各种各样的分形图象。著名的有道迪兔子，圣马科吸引子等。同年，茹厄勒(D．Ruelle)得到J集与解析映射系数的关系，解决了解析映射J集豪斯道夫维数的计算问题。茄勒特(L．Garnett)得到J(f_c)集豪斯道夫维数的数值解法，1983年韦当(M．Widom)进一步推广了部分结果。法图在1926年就开始整函数迭代的研究，1981年密休威茨(M．Misutrewicz)证明指数映射的J集为复平面，解决了法图提出的问题，引起研究者极大兴趣。发现超越整函数的J集与有理映射J集的性质差异，1984年德万尼(R．L．Devanney)证明指数映射E_λ的J(E_λ)集是康托束或复平面而J(f_c)是康托尘或连通集。

复平面上使J(f_c)成为连通集的点c组成M集，尤希斯(H．Jürgens)和派特根(H-O．Peitgen)认为，M集的性质过去一直是并且将来继续是数学研究的一个巨大难题。通过将数学理论与计算机图形学实验加以融合，及道迪、扈巴德(H．Hubbard)等人在这方面进行的基础性研究工作，在解决这一难题方面已取得重大进展，使人们加深了对M集的了解。道迪和扈巴德1982年证明M集是连通的和单连通的。人们猜测M是局部连通的，目前每一张计算机图形都证实了这一猜测，但至今还没有人能给予证明。M是否为弧连通，目前尚不清楚，M集边界的维数也是值得研究的问题之一。

M集除了将J集分成连通与非连通的两类之外，还起着无穷个J集的图解目录表作用。即把M集C点周围的图形放大就是与C点有关的J集的组成部分。但这一发现的数学严密性至今仍未确定，谭磊(Tan Lei)1985年证明在每一个密休威茨点邻近M集与相关J集之间存在着相似性，尤更斯等在M集的静电位研究中获得与自然形貌相似的分形图象，目前包括尤更斯等在内的很多研究人员都致力于借助计算机探索M集，其它一些分形集的三位电位再现及相关的研究工作也正在取得进展，1990年德万尼通过数值实验观察到M集的复杂图形由许多不同周期的周期轨道的稳定区域共同构成。1991年黄永念运用他提出的代数分析法证明了这一事实，他还研究了M集及其广义情况周期轨道整体解析特性。

巴斯勒(B．M．Barnsley)和德门科(S．Demko)1985年，引入迭代函数系统，J集及其它很多分形集都是某些迭代函数系统的吸引集，用其它方法产生的分形集也可用迭代函数系逼近，1988年，劳威尔(H．A．Lauwerier)通过数值研究发现毕巴斯勒等研究含参数的函数系迭代动力系统，得到M集的类推集D并发现D与M在连通性上的差异，在一线性映射系迭代下，可以产生著名的分形曲线——双生龙曲线。1986年米朱泰尼(M．Mitzutani)等对其动力系统进行了研究。

一般动力系统中的分形集，其豪斯道夫维数d_H难以通过理论方法或计算方法求得。对于具有迭代式构造的分形集，贝德浮德(T．Bedford)等在1986年已给出卓有成效的算法，但对一般非线性映射迭代动力系统产生的分形集，这些结果都难以应用，其豪斯道夫维数d_H的结论与算法实际上没有。卡普兰(J．L．Kaplan)和约克(J．A．York)1979年引入李雅普洛夫维数d_L并猜测d_L=d_H；1981年勒拉皮尔证明d_H≤d_L；杨(L．S．Young)1982年证明二维情况下d_H=d_L；艾茄瓦(A．K．Agarwal)等1986年给出例子说明高维情形卡普兰－约克猜测不成立。这一猜测力图从动力学特征推断几何结构，其反问题是由吸引子维数推断混沌动力学，这是值得研究的问题，但目前工作甚少。且主要限于计算机研究。此外，含参动力系统在混沌临界态或突变处的分形集维数也有待进一步研究。

多重分形(multifractals)是与动力系统奇异吸引子有关的另一类重要分形集，其概念首先由曼德尔布罗特和伦依(A．Renyi)引入，法默(J．D．Farmer)等在1983年定义了多重分形广义维数，1988年博尔(T．Bohr)等人将拓扑熵引入多重分形，哈尔西(T．C．Halsey)等引入配分函数，科莫多(M．Kohmoto)为多重分形引入熵函数和自由能。建立了多重分形与热力学的类比，1988年，阿内多(A．Arneodo)等人将小波变换用于多重分形研究。费德(J．Feder)和特沃(T．Tel)等人进行了多重分形子及标度指数的研究。李(J．Lee)等发现了多重分形热力学形式上的相变。1990年，伯克(C．Beck)得到广义维数的上下界和极限并研究了多重分形的均匀性量度。曼德尔布罗特研究了随机多重分形及负分维。1991年科维克(Z．Kovács)等引入双变量迭代系统，由最大特征值和吉布斯势导出维数，李雅普诺夫指数，提供了对多重分形相变分类的一种手段。对于多重分形目前虽已提出不少处理方法，但从数学的观点上看，还不够严谨，部分问题的数学处理难度也较大。

分形理论真正发展起来才10余年。值得庆幸的是，近年分形理论的应用发展远远超过了理论的发展，给分形的数学理论提出了更新更高的要求。数的理论计算、估计，分形重构，J集和M集及其推广形式的性质，动力学特征及维数研究是今后的研究重点。多重分形理论的完善以及如何用这些理论来解决实际问题可能会引起科学家们广泛的兴趣，而动力学特征、相变和子波变换可能会成为其中的几个热点。

【参考文献】：

1 李后强，等．分形与分维．成都：四川教育出版社，1990．1～120

2 汪富泉，等．分形几何与动力系统．哈尔滨：黑龙江教育出版社，1993．20～50

(四川师范学院汪富泉副教授撰；李后强教授审)

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