【费马大定理】
拼译：Fermat’s last theorem
法国费马(P．de Fermat)大约于1637年在古希腊丢番图(Diophantus)的书《算术》(拉丁文译本)第2卷第8题“将一个平方数分为两个平方数之和”的空白处写下的一个命题。用今天的语言叙述，费马大定理是：当n＞2时，方程(1)xn+yn=zn没有正整数解。费马当时声称，他已找到一个奇妙的证明。但是，350多年过去了，不仅没有找到费马的所谓“奇妙的证明”，而且不知有多少优秀数学家试图证明它，均没有成功。所以，费马大定理在今天也叫费马最后定理或费马猜想。
关于费马大定理，从提出到1847年大约过了200年，进展非常缓慢。当n=3，4时，费马本人已给出了证明。100年后，欧拉(L．Euler)发现n=3时费马的证明不完全，因而他给出了一个完全的证明。1823年，71岁高龄的勒让德(A．－M．Legendre)又成功地证明了n=5的情形。高斯(C．F．Gauss)在给出n=3的情形的另一个证明后，试图证明n=7的情形，但他失败了。为此，高斯称费马大定理是“人们不能证明，也不能否定的命题”。1839年，拉梅(G．Lamé)证明了n=7情形。第1个对费马大定理作出突破性工作的是德国库默(E．E．Kummer)，他在1847年证明了当n是正规素数时费马大定理成立。所谓正规素数，是指素数n满足：n不整除分圆域Q(η)的类数，这里η=exp(2πi／n)。库默还给出判断n是不是正规素数的方法：设n＞3是素数，如果n不整除前
个贝努里(Bernoulli)数的分子，则n是正规素数。通过计算，小于100的奇素数中除37，59，67外都是正规素数。但是直到今天，人们也不知道正规素数是有限的还是无限的。尽管如此，库默由于研究费马大定理而引入的“理想数”的概念，创立了一门崭新的数学分支——理想数论。所以，人们称费马大定理是一只“会下金蛋”的鸡。这或许是研究费马大定理的一个最重要的理论意义。1908年，德国佛尔夫斯凯尔(Wolfskehl)逝世前，遗言中要求将10万马克巨款作为奖金授于第1个证明费马大定理的人。这个奖的设立，大大推动了对费马大定理的研究。所谓的“证明”纷纷传来，但无一例外均是错误的。近、现代研究费马大定理，大约可分为3个方面：第1个方面是对一般的n来研究，通常是找费马大定理不成立的必要条件；第2个方面是研究(n，xyz)=1的情形，称为费马大定理的第一情形；第3个方面是研究(n，xyz)＞1的情形，称为费马大定理的第2情形。对第1个方面，假设方程(1)有正整数解，不妨设0＜x＜y＜z。1966年，裴利沙斯特利(M．Perisastri)证明x2＞z。1988年，毕尔莱克(K．Bialek)证明x2＞2z+1。1989年，曹珍富证明对2≤m≤n－1均有：
例如取m=2，我们有x2＞nz+n－3。同时，他还证明了xn＞
，以上是关于方程(1)正整数解的估计。关于解的个数方面，英国莫德尔(L．J．Mordell)于1922年提出了一个著名的猜想：在有理数域里，亏格大于或等于2的有理系数二元多项式方程最多只有有限个解。1983年，德国伐尔廷斯(G．Faltings)使用代数几何的深刻工具证明了莫德尔猜想(伐尔廷斯的证明是对于任意数域来证的)，从而推出：当n≥4时，方程(1)如果有(x，y)=1的解，则最多只有有限组。无疑，这又是对费马大定理的重大突破。利用伐尔廷斯的结果，1985年，希斯－布朗(D．R．Heath-Brown)证明了
，这里r(N)表不超过N使费马大定理不成立的n的个数。这说明，对“几乎所有”的n费马大定理皆成立。此外，当n＜4×106时费马大定理已被证明是成立的。对第2个方面，即费马大定理的第一情形，早期的结果是热尔曼(S．Germain)与勒让德得到的，他们证明了当n是素数并且2n+1，4n+1，8n+1，10n+1，14n+1，16n+1之一是素数时费马大定理第一情形成立。1894年，文特(Wendt)考虑了由二项式系数(
)，(
)，…，(
)构成的一个循环行列式：
证明：设n是一个素数使得q=2hn+1是素数，如果q⊕D2h并且
，则费马大定理第1情形成立。由此结果可以推出热尔曼与勒让德的结果。1935年，E．莱默(E．Lehmer)证明：设p是奇素数，则pp－2·(2p－1－1)／p整除Dp－1。卡里兹(Carlitz)沿着这个线索于1960年证明：如果n=p是奇素数，pp+33①Dp－1，则费马大定理第1情形成立。另一方面，D．E．莱默与E．莱默推广前人结果，证明：设n是素数，如果费马大定理在第1情形时不成立，则对所有素数q≤43均成立(2)qn－1≡1(mod n2)。利用这个结果他们证明当n≤25374887时费马大定理第1情形成立。1985年，爱德列曼(L．M．Adleman)与希斯－布朗证明有无穷多个素数n使费马大定理第1情形成立，即有：设S=｛n：n是素数使费马大定理第1情形成立｝，则#｛n∈S：n≤x｝》x0．6687，符号#｛ ｝表示集合｛ ｝的元素个数。这个结果也是多年来人们梦寐以求的。1988年，格莱茵维勒(A．Granville)和蒙娜根(M．B．Monagan)将(2)式中的q改进为q≤89，并用此结果证明出费马大定理第1情形对n≤714591416091389成立。1989年，唐耐(J．W．Tanner)与瓦格斯塔夫(S．S．Wagstaff Jr．)证明当n＜156442236847241729时第1情形成立。
)的分子都不被n3整除，则费马大定理成立。但是，因为第2因子h+的复杂性，试图避开h+就成为摆在人们面前的课题。为此，范迪维尔证明了一系列结果。1954年，D．H．莱默、E．莱默与范迪维尔证明适用于计算的新定理：设n是一个非正规素数，令ai(
)是下标使n｜B2ai，如果对所有的下标ai，
和
，则费马大定理成立，这里l是素数，l=kn+1＜n2－n，
，t是满足
的正整数，
。此外，依恩柯利于1953年证明：如果n是奇素数，0＜x＜y＜z，n｜xyz且满足方程(1)，则x＞n3n－4，
。这个结果是可以改进的。综上所述，费马大定理历史悠久，且在不同时期都有众多数学家参与工作，成为数学界最热门且又是最持久的课题。目前看来，最重要的结果是从80年代初伐尔廷斯开始得到的。今后，这一课题的热点将是：(1)使用椭圆曲线来研究。1986年，费雷(G．Frey)把费马大定理与椭圆曲线联系起来，例如他证明了谷山－魏尔(Taniyama-Weil)猜想蕴涵费马大定理。但谷山－魏尔猜想是算术几何(也称丢番图几何)的深刻课题。在1988年初曾盛传日本宫冈利用椭圆曲线证明了费马大定理，但过后不久，伐尔廷斯便发现了宫冈有一处不可弥补的错误。(2)对abc－猜想的研究。设a，b，c是互素整数满足a+b+c=0，则对任给ε＞0均有max｛｜a｜，｜b｜，
。这就是马赛尔(Masser)与奥斯特勒(Oesterlé)提出的所谓的abc－猜想。显然，如果这个猜想被证明，则费马大定理对充分大的指数成立。1988年，赛尔维曼(J．H．Silverman)证明了：如果abc－猜想成立，则有无限多素数n满足
。(3)关于(1)的解的估计与相关方程的研究。例如当x，y，z中有一个为素数幂时，方程(1)是否有正整数解?对相关的方程如xn+yn=czl(n，l均为素数)等，也有过大量的研究，并且将继续吸引人们的注意。(4)初等方法对第一情形将继续发挥作用，例如已知贝努里数、欧拉数、费波那兹(L．Fibonacci)数都可用来研究第一情形。探讨新的二阶递推序列对第一情形的应用，将是人们进一步研究的题目。(5)人们也将探讨有力的研究第二情形的方法，以及其它的一些情形。在这些热点当中，前两个对费马大定理的彻底解决最富有探索性。我们期待着人类在费马大定理上再创奇迹，早日攻克这一著名难题。校稿附记：1993年6月23日，英国外尔斯(Andrew Wiles)在剑桥大学牛顿数学研究所作了两个半小时的题为“模形式，椭圆曲线和伽罗华表示”的学术报告，报告中宣布他证明了谷山－魏尔猜想对于半稳定的椭圆曲线成立。由于费雷由费马方程的一组正整数解得到的椭圆曲线(称为费雷曲线)是半稳定的，并且费雷曲线不满足谷山－魏尔猜想，所以费马大定理已作为推论得到证明。据英国报纸说，外尔斯的这项工作的预印本长达1000多页，目前完全弄懂这项工作的证明细节的数学家不会超过6人。所以，这项工作将需要几个月的时间进行审查。尽管如此，有关专家与权威人士仍大都持肯定态度。笔者认为，不管结果如何，热点(1)～(5)仍将是有意义的课题，特别是给出简化的、简洁的或完全新的证明，仍将吸引数学家们的极大兴趣。【参考文献】：1 Ribenboim P. 13 Lectures on Fermat's Last Theorem. New York: Springer-Verlag, 19802 Heath-Brown D R. Bull London Math,Soc,1985,17(1): 15～163 Adleman L M,Heath-Brown D R. Invent,Math, 1985,79 (2):409～4164 Frey G.Ann UnivSarav Ser Math, 1986,1(1) :iv+40pp5 曹珍富．自然杂志，1987，10(5)∶393；1989，12(9)∶718；1990，13(5)∶3146 Silverman J H.J Number Theory, 1988,30:226～2377 Granville A.Monagan M B. Trans Amer Math Soc. .1988, 306(1) :329～3598 TannerJW,etal. Math Comp, 1989,53(188) :743～7509 曹珍富．丢番图方程引论，哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，198910 Rotkiewicz A．Colloq Math，1991，62(1)∶15～19(哈尔滨工业大学曹珍富教授撰)