【李雅普诺夫函数的构造】
拼译：construction of Lyapunov functions
运动系统的稳定性研究，是自然科学和工程技术中很受人们关心的问题。古典的例子，是太阳系的稳定性及旋转流体所构成的星球稳定性等等。近年来，运动稳定性理论在世界各国都引起极大的兴趣。因此，由李雅普诺夫(ЛяпyноB，即Lyapunov)在19世纪90年代所开创的理论，在物理科学和工程技术的各个领域，都获得了广泛的应用。
А．М．Лялyнов在他于1892年发表的《运动稳定性的一般问题》论文中，提出了处理稳定性问题的两种方法。其中第2种方法(有时又称李雅普诺夫直接法)，不需要去寻求运动方程的特殊解，而是构造一族曲面(即构造李雅普诺夫函数)，用它们来刻划系统的积分曲线的动向，以解决平衡点的稳定性问题。但是Lyapunov函数的作用，决不仅限于对稳定性或不稳定性事实的建立。Lyapunov函数方法还是研究自动调节系统的最有效方法之一。对具体的非线性自动调节系统而言，适当地作出李雅普诺夫函数，就能解决一系列有重大实际意义的问题。例如可以给出调节量变化的估计、调节质量的估计、调节时间的估计等等。前苏联А．М．ЛeтоB和А．и．луpьe在这方面做了大量的工作。利用李雅普诺夫函数可以估计经常作用下扰动的影响，可以解决大范围稳定性问题。从20世纪60年代开始，Lyapunov函数方法已逐渐成为研究非线性振荡理论的一种重要有力工具。由于在电系统中电振荡和通讯工程相关，振荡被用来达到通讯的目的，所以非线性振动理论在电讯工程中内容最丰富，其中许多所处理的对象，关系到非线性回路中的振荡，它们在数学上就表示为非线性常微分方程，而周期解的稳定性则是其中心问题。日本吉泽太郎从1954年到1959年建立了解的有界性与Lyapunov函数之间的联系，从而为研究非线性周期系统的周期解之存在性奠定了基础。此外，在构造Poincaé－Bendixson环域的外境界线时，应用Lyapunov函数方法，有时会比用传统定性方法要简洁得多。所以李雅普诺夫稳定性理论中的一个核心问题，就是李雅普诺夫函数构造问题。长期以来尽管人们作了不少的努力，但直到目前为止，对于一般非线性系统，如何构造其Lyapunov函数的通用有效的方法还是没有。虽然如此，针对实际中出现的各种非线性系统，通过定性分析，然后根据实际情况构造出恰当的李雅普诺夫函数，就这一点而言，还是取得了极其丰硕的成果。因此在探索非线性系统的Lyapunov函数构造的一般方法过程中，系统地总结现有的Lyapunov函数构造的各种方法，从中找出构造Lyapunov函数的规律，这对从事常微分方程定性理论的研究是很有必要的，其意义亦是很深刻的。但是：在研究Lyapunov函数的一般方法中，对每一个非线性常微分方程组而言，任何预先给定的函数，都可以作为该系统的李雅普诺夫函数。事实上，当要求函数V由给定的系统所构成的全导数
为常负时，我们就可写出系统零解稳定性的若干充分条件。如果用这种推理方法，去探讨系统稳定性的充分条件，我们将不可避免地沉溺在很少有价值的、稳定性的、充分条件的讨论中。而这种充分条件，显见它的人为性太大，因此最终导致与系统稳定性的必要条件差得很远，往往是不能反映系统的实质。这是应当引起我们从事稳定性理论研究的同志所注意的。众所周知，就常系数线性系统而言，它的李雅普诺夫函数(一般指二次型)构造的原理早就为A．M．李雅普诺夫本人所解决。但是针对具体的n阶常系数线性系统
当它的特征方程｜aij－λδij｜=0(i，j=1，2，…n)δij=｛
的所有根都具有负实部时，即Reλii＜0(i=1，2，…，n)。怎样通过系数aij，把我们所要求的李雅普诺夫函数用显明和简洁的形式写出来?尽管在n=2时，这一工作已由И．Г．Малкин(马尔金)在1954年给出。可是对一般n维的情形，直到1959年才由蔡燧林给出。И．
．БapБaшин(巴尔巴辛)关于n阶常系数线性方程组的李雅普诺夫函数公式，虽然概括了蔡燧林的结果，但是他在1968年才在前苏联微分方程期刊上发表。李森林就分离变量下的非线性系统的全局稳定性，构造了一个很有意义的Lyapunov函数。当系统是二维时，Lyapunov函数就是用4段直线拼成的封闭曲线族。
x+ax+bx+cx=0
各种可能形式的Lyapunov函数，然后采用类比方法，王联等找到了一系列简洁有意义的Lyapunov函数，不仅统一地解决了Kasprzyk在1972年提出的3个非线性三阶方程的全局稳定性问题；而且根据这些三阶非线性系统的Lyapunov函数，解决了锁相技术中出现的、具有正切鉴相特性的、三阶环路方程的全局定性结构问题。从而为这种高阶环路不会出现失锁点和不会出现假锁的现象找到了理论根据。这种寻求非线性系统的Lyapunov函数的方法之特点，就是构造Lyapunov函数的理论是充分的。针对某一类非线性函数而言，用类比法构造Lyapunov函数的过程中，对非线性函数所附加的条件不仅仅是保证稳定性足够，而且一旦此非线性函数转变为线性函数时，那么这些条件对于保证稳定性来说，也是必要的。此外，在变系数线性系统的稳定性研究中，Lyapunov函数的构造问题，至今还是很难进行。对于一般非自治、非线性系统的Lyapunov函数构造，更是困难重重。1973年王慕秋在研究缓变系统的稳定性时，首先发现可以用常系数线性系统的Lyapunov函数公式来解决缓变线性系统的稳定性问题。从而为工程控制论中采用的冻结系数法提供了理论根据。1976年秦元勋、王联、王慕秋、胡文瑞在研究天体物理星云结构星系密度波理论中，遇到了一个非线性、非自治的二阶常微分方程组，通过定性分析，采用比较向量场的方法，构造了一个极其恰当的Lyapunov函数，从而解决了密度波在共转区的不稳定性问题。李雅普诺夫函数的构造已发展成为今天常微分方程理论中的一个重要研究课题。正是由于它具有明显的几何直观和简明的分析技巧，所以易于为广大的实际工作者和常微分方程理论工作者所掌握。因此这个方法不仅在电学、控制工程、现代物理等许多科学技术领域中获得广泛地应用，而且在常微分方程学科理论的研究中也将会得到更进一步的发展。随着近代电子计算技术的蓬勃发展，生态平衡生物数学的兴起，常差分方程(描述离散时间系统)已经成为一个重要的且有用的数学模型。无疑上述Lyapunov函数方法将是差分方程解序列的全局定性结构研究的一个有力工具。这将为Lyapunov函数构造这个课题的研究开创了一个广阔的前景与新的研究领域。再则泛函微分方程是目前国内外受人们非常重视、且又很热门的学科，对它的定性研究是很不成熟，特别是对它的稳定性研究，要能得到实质性的成果，还有赖于Lyapunov泛函数的构造这个课题的研究。无疑这将是Lyapunov第2方法的又一个广阔的研究领域。应当引起我们的重视与关注。【参考文献】：1 秦元勋，王慕秋，王联．运动稳定性理论与应用．北京：科学出版社，19812 王联，王慕秋．非线性常微分方程定性分析．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，19873 李森林，温立志．泛函微分方程．长沙：湖南科技出版社，19874 秦元勋，刘永清，王联，郑祖庥．带有时滞的动力系统的运动稳定性．北京：科学出版社，19895 王联，王慕秋．常差分方程．乌鲁木齐：新疆大学出版社，1991(中国科学院数学研究所王联研究员撰)