【奥尔里奇空间及其几何】
拼译：Orlicz space and its geometry
奥尔里奇空间是波兰奥尔里奇于1932～1936年间引入并讨论的。这是一类包含经典函数空间Lp和经典数列空间lp为特例的具体空间，它由满足一定条件的生成函数所生成，生成函数通常有N函数、杨(Young)函数和Φ函数(它们所满足条件的最本质差异在于前两类函数具有凸性，而第三类不具有)，它们依次包括幂函数｜u｜p的p＞1，p≥1和p＞0的情形，并且N函数和杨函数生成的奥尔里奇空间是巴拿赫(S．Banach)空间，而Φ函数生成的则是弗雷谢(M．Frechet)空间。奥尔里奇空间的研究，一方面为研究巴拿赫空间与弗雷谢空间提供直观背景材料，另一方面对积分方程、偏微分方程、概率论、实、复分析乃至控制论等学科又都有着广泛的应用，它已成为泛函分析中的一个重要分支。
奥尔里奇空间理论提出后，在相当一段时间内并未得到长足的发展。直到50年代初，前苏联克拉斯诺西尔斯基(M．A．Krasnosel’skii)和鲁季茨基(Ya．B．Rutickii)发表了一系列有关奥尔里奇空间的论文，他们的研究密切结合对积分方程的应用，1958年将所得成果总结出版了奥尔里奇空间方面的第1部专著，1962年吴从炘将该书译成中文出版。与此同时，荷兰蔡年(A．C．Zaanen)和鲁森伯格(W．A．J．Luxemburg)也从事这方面的研究，特别是鲁森伯格1955年在论文中给出了一种不同于奥尔里奇所定义的范数(后人分别称这两种等价的范数为奥尔里奇范数和鲁森伯格范数)。在此期间，日本中野秀五郎等发展的模半序线性空间理论也与奥尔里奇空间有一定的联系。50年代后期，在奥尔里奇领导下恢复了对奥尔里奇空间的研究，不仅联系到囿变函数与积分、富氏级数、逼近论、求和法及复分析诸方面，而且开展了由Φ函数生成的奥尔里奇空间的研究。1958年奥尔里奇访问中国，其所作报告的内容后来整理成书，于1963年在中国出版。在奥尔里奇访问中国的前后，中国也开展了对奥尔里奇空间的研究。最早刊出论文的有：丁夏畦、吴从炘将奥尔里奇空间用于著名的索伯列夫(Sobolev)嵌入定理的推广，郭大钧、王声望分别对卡拉太屋独里(Caratheodory)算子与乌利孙(Urysohn)算子和概周期函数的应用。关于奥尔里奇空间的近期研究，从80年代以后出版的几本各具特色的著作中可得到反映。1983年，吴从炘与王廷辅，以及丁夏畦、穆希拉克(J．Musielak)同时出版了各自的著作。前者除了介绍中国的相关研究外，还具有教科书与工具书的特点；丁夏畦的著作是对偏微分方程应用方面的成果总结；第3本则侧重于较奥尔里奇空间更广的穆希拉克－奥尔里奇空间的理论和应用，其中包含有普千尼克(R．Pluciennik)的成果。最近，M．M．Rao与任重道出版的著作是以由杨函数生成的奥尔里奇空间为对象，并集中了著者们在对概率论和插值问题应用等方面的成就。至于奥尔里奇空间几何，最早的工作是鲁森伯格1955年博士论文中的L(M)(通常分别用LM、lM、L(M)、l(M)表示关于奥尔里奇范数与鲁森伯格范数的奥尔里奇函数空间和数列空间)的一致凸性的充分条件，接着1957年梅尼斯(H．W．Milnes)讨论了LM的一致凸性与严格凸性，然而就是对这两种最基本的凸性的研究，这时也并未完成。随着近年来巴拿赫空间几何学成为人们特别感兴趣的一个研究领域，奥尔里奇空间几何的研究自然也受到大家的关注，吸引了以色列、波兰、中国、美国、西班牙等国的不少学者从事该领域的研究。特别是波兰波兹南和中国哈尔滨等地的研究人员的工作最为系统和完整经过哈尔滨的陈述涛、王廷辅、吴从炘以及波兹南的胡吉克(H．Hudzik)、卡明斯卡(A．Kaminska)等人10多年的工作，LM、L(M)、lM、l(m)中介于一致凸和严格凸之间的各种凸性(诸如局部一致凸、各向一致凸等等)和K一致凸、近似一致凸、H严格凸等其它凸性以及各种非方性(包括一致非方、非方、局部一致非方、一致非
、非
、局部非
等)的借助生成N函数M(u)的判据已经全部得到。这些判据表明对于两种等价范数，奥尔里奇空间的几何性质可以相同、也可以完全不同。这里还要说明的是：刻划LM几何性质的一个重要手段是吴从炘等于1978年所公布的计算公式：对非零的x有
其中k*、k* *由M(u)和x(t)所唯一确定。
关于奥尔里奇空间局部几何性质的研究已经开始，端点、λ点、稳定点的判据业已获得，并且由此引起了弱于严格凸的λ性质和稳定性等整体几何性质的讨论，也出现了M(u)异于通常凸性条件(即严格凸与一致凸)和限制增长性条件(指Δ2、▽2条件等)的新条件，还应用了集值映射K；x(t)→［k*，k* *］的工具，这些方面均需作进一步探讨。奥尔里奇空间中各种几何常数的讨论也已展开，一些几何常数(如装球常数)的精确表达式已经得到，另一些几何常数(如围线长等)则已被用于刻划某些几何性质。对于穆希拉克－奥尔里奇空间几何的研究，尽管已有胡吉克、卡明斯卡、吴从炘、陈述涛、孙慧颖的工作，但目前还仅局限于严格凸、一致凸、复严格凸、复一致凸等内容，研究得还很不充分。至于由Φ函数生成的奥尔里奇空间的几何问题，眼下研究得更少，仅维斯拉(M．Wiska)等有些工作，这方面研究的展开势必会推动一般的弗雷谢空间，甚至局部凸空几何学研究的产生、形成与发展。从理论上看，奥尔里奇空间的几何性质常可直接用来否定巴拿赫空间几何学中的一些公开问题(如1991年孙慧颖等否定回答了关于λ性质的两个公开问题)，这种方式要比直接构造具体反例更为优越。在应用上，王廷辅等也已将奥尔里奇空间几何性质用于概率论、逼近论和控制论。这些都显示出奥尔里奇空间几何的作用，这种作用和影响显然会日益增强。最后还应指出，林登斯特劳斯(J．Lindenstrauss)等人对奥尔里奇数列空间的对称基和同构余子空间等几何问题有一系列研究，在他们1977年出版的著作《经典巴拿赫空间Ⅰ》中所提出的公开问题：“若M(u)是极小奥尔里奇函数，则lM是素(prime)巴拿赫空间吗?”至今尚未得到解决。【参考文献】：1 Luxemburg W A J．Banach function spaces，1955，1～702 Krasnosel’skii M A，et al．Convex functions and Orlicz spaces，1958；1～266；吴从炘．北京：科学出版社，1962．1～2553 奥尔里奇．线性泛函分析．北京：科学出版社．1963．1～1384 吴从炘．王廷辅．奥尔里奇空间及其应用．哈尔滨：黑龙江科技出版社，1983．1～4615 丁夏畦．可微函数与偏微分方程．武汉：湖北科技出版社，1983．1～2706 Musielak J．Orlicz spaces and modular spaces．Berlin，Springer-Verlag 1983．1～2227 吴从炘，等．Orlicz空间几何理论．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1986．1～2838 Wu Congxin，et al．SEA Bull．Math，1990，14：75～85(哈尔滨工业大学博士生导师吴从炘撰)