【函数论中的极端点和支撑点理论】
拼译：theory 0f extreme points and support points in function theory
极值问题在几何函数论中占有重要位置。关于解析单叶函数族S系数的著名比伯巴赫(Bieberbach)猜想：｜an｜≤n［1984年被美国路易斯·德·勃朗吉斯(Louis de Branges)解决］就是一个有趣的极值问题。20世纪70年代以来，几何函数论在研究许多具体极值问题的同时，开始研究一般极值问题，即寻求某些解析函数空间上连续线性泛函的最大值和相应的极值函数——支撑点。线性拓扑空间的有关理论表明，对于紧的解析函数空间，这些最大值与其闭凸包的极端点集上的最大值一致。所以，刻画支撑点和极端点的性质，寻求它们的表达形式，对解决极值问题至关重要。
早期的研究工作主要是解析单叶函数族S和亚纯单叶函数族∑的支撑点和极端点的一般性质。1970年伯瑞克曼(L．Brickman)证明S的极端点是一割线映射，其像域的境界是一条伸向无限远点且具有单调模性质的连续曲线。1971年普夫鲁格(Pfluger)指出，S的每一个支撑点也具有同样性质。容易知道∑族没有极端点。对其子族∑0(常数项为零)，早在1955年，斯普凌格(Springer)断言：支撑点的充分条件是像域的余面积为零。直到1982年哈米尔顿(D．H．Hamilton)用很高的技巧证明其逆命题也正确。伯瑞克曼等人早在70年代利用泛函分析理论和凸性技巧对S的几个重要特殊子族进行了深入的研究。1971年他们确定了典型实照、星形以及凸形子族的极端点和支撑点。近于凸子族的问题比较困难，直到1984年才由豪恩勃劳尔(R．Hornblower)和威尔金(Willken)完全解决其支撑点的表达形式。舍缶(Schiffer)创造的境界变分原理是研究S族支撑点的有力工具。1974年伯瑞克曼和威尔金利用这种方法证明了支撑点像域的余集是简单的解析弧，它满足一个与相应泛函有关的二次微分方程(以舍缶命名)。由该方程出发，他们又发现：支撑点除外弧的径向角小于π／4(即π／4性质)，可能在有限端点处例外；除外弧在无限远点有一渐近半直线。1983年杜林(P．Duren)、梁(Leung)和舍缶对支撑点除外弧在有限端点处的径向角进行了细致的研究。他们指出：对点值泛函和系数线性组合等泛函相应的支撑点在除外弧的有限端点处径向角等于π／4。杜林等人于1983年还指出，对有理型泛函(假设没有二级零点)若径向角在有限端点处等于π／4，则除外弧必是一半直线。1991年张玉林和马进喜指出，二级零点的假设条件可以去掉。1979年杜林证明导数泛函支撑点除外弧具有单调辐角和单调径向角的猜想。布郎(Brown)于1978年和1985年分别指出这一猜想对点值泛函和某些系数泛函是正确的。一般情况下的杜林猜想至今尚未解决。关于亚纯单叶函数族∑的支撑点，1987年阿布·穆汗纳(Abu-Muhanna)和梁发现，若∑中函数的除外值是一条解析曲线，则它是一个支撑点；若这一函数还是有理函数的话，则除外弧一定是直线段或园弧。这一发现表明∑族的支撑点比S族多得多。从属族的极端点和支撑点理论一直是比较活跃的研究课题。解析函数F的从属族的极端点集Es(F)和F与什瓦尔兹(Schwarz)函数极端点的复合函数究竟有什么关系?1983年阿布·穆汗纳在F单叶，F′属奈万里纳(Nevanlinna)族且F的像是位于一半平面内的Jordan域的假设条件下证明了
。1989年阿布·穆汗纳和海伦拜克(D．J．Hallenbeck)更将这一命题的假设条件减少到只需F是解析单叶的即可。至于从属族的支撑点，1984年阿布·穆汗纳证明了，若F是解析函数，其从属族的支撑点一定是F与什瓦尔兹函数类某支撑点的复合。塔克泽斯卡(Tkaczynska)和阿布·穆汗纳在F属于凸映射的闭凸包和F在闭单位园盘上解析的条件下分别于1990年和1985年证明逆命题成立。关于极点不在原点的亚纯单叶函数族S(P)，1991年张玉林和马进喜发现，其极端点像域的余面积为零。他们同时指出，在相差一留数因子的情况下其逆命题也成立。另外S(P)星形子族的支撑点的具体表达形式也被他们确定。多叶函数的极端点和支撑点的理论近年来也取得不少进展。早在1976年海伦贝克和列文斯敦(A．E．Livingston)确定了P叶星形、凸形及近于凸子族的闭凸包和极端点。1989年罗东汉获得星形和凸形子族的支撑点并部分解决了近于凸族的支撑点。1989年海伦贝克和卡塔泽那(Katarzyna)确定了P叶星形、凸形和近于凸从属族的极端点。对支撑点除近于凸族部分解决外，星形和凸形从属族被他们完满解决。关于极端点和支撑点理论在极值问题上的应用已取得许多新的研究成果。由于单叶函数族S系数的查尔斯曼猜想：
蕴含着著名的比伯巴赫猜想：｜an｜≤n，从而受到人们的关注。1986年布郎对S的星形子族证明这一猜想成立。1988年马万仑证明了n≥4时这一猜想对近于凸族的闭凸包成立，当然对近于凸族也成立。对于β次近于凸从属族的系数估计，1975年海伦拜克得到β≥1时的严格上界。而当β≥0时，1988年考夫(W．Koepf)用不同的技巧予以完全解决。考夫同时找到β级(β≥0)m次对称近于凸函数导数P次积分平均的精确上界。解析单叶函数的极端点和支撑点理论的研究虽已取得丰富的成果，但仍有一些问题尚待研究。预计今后关于各子族的研究可望获得某些进一步的成果。另一方面，近年来解析单叶函数理论已推广至多叶函数和调和映射更加广泛的研究领域。随着这些理论的深入发展，其极端点和支撑点理论将成为研究热点。特别是调和单叶映射，它是80年代国际上新兴的研究课题，截止目前，极端点和支撑点的研究成果很少，预计会有较大的发展。【参考文献】：1 Duren P L. Univalent Functions. New York, Springer - Verlag,19832 Hallenbeck D J, et al. Linear problems and convexity teck-niques in geometric function theory. Boston . Pitman Advanced inc,19843 Hallenbeck D J. Lecture on complex analysis, Singapore: World Scientific, 1988,121 ～ 1274 KoepfW. Complex Variables, 1988,10(4):349～3575 Wan-cang Ma. Proc Amer Math Soc,1988,104(3):741～ 7446 Abu-Muhanna.et al. Tran Amer Math Soc,1988,308(1): 83～897 刘书琴，等．数学进展，1989，18(2)∶129～1418 Yu-Lin Zhang，et af．Jour Math Anal Appl，1991，160(2)∶598～601(西北大学张玉林教授撰；刘书琴审)