【拓扑Boole格理论】
拼译：theory of topological boolean lattice
拓扑Boole格又称为拓扑布尔(Boole)代数，是具有拓扑结构的布尔代数。拓扑Boole格理论是拓扑空间理论的推广和应用。布尔代数的理论在思维科学、计算机科学和自动化技术等科技领域有着广泛的应用。一般拓扑学是一个应用广泛的现代数学基础的重要分支。拓扑Boole格的理论为拓扑学的应用开辟了更广阔的前景，在经典数学与许多现代科技领域之间架起了一座桥梁，也是研究拓扑理论的重要方法。
1922年波兰库拉托夫斯基(K．Kuratowski)从闭包运算A
，x是一个集合，P(x)表示x的幂集)出发，定义x上的拓扑，给出了拓扑空间的一般定义。这样，一方面表明拓扑空间是拓扑Boole格的特款——有支柱的拓扑Boole格。另一方面，在库拉托夫斯基公理系统中，点的概念并不出现，闭包运算只是Boole格P(x)中的映射，这引起人们的极大兴趣，即不用点作原始概念来考虑拓扑结构的理论。从而为拓扑空间的理论推广到拓扑Boole格上奠定了坚实的基础。1937年日本寺阪英孝开始把库拉托夫斯基的方法与格论结合起来，讨论了拓扑格的理论。诺伯林(G．Nöbeling)把这一论点系统发展，其著作《分析拓扑学原理》(Grundlagen der analytischen topologie，1954)就是在这种看法下写成的。另一具有开创性的工作是，1937年法国嘉当(H．Cartan)提出的滤子理论，用以推广平常点列的收敛，这与定向点列的收敛实际上是等价的。而在滤子理论中也是用集代替点作为基本概念，为把拓扑空间的理论推广到拓扑Boole格上，开辟了一条重要渠道。此后，以法国学派为主要代表的许多论著，都进行了将拓扑空间的一些结果推广到更一般的拓扑Boole格中去的讨论。关肇直1958年编著的《拓扑空间概论》一书，不仅是中国第1本专门论述点集拓扑学的著作，也是第1本介绍拓扑Boole格理论的著作，为拓扑学、拓扑Boole格理论在中国的传播和发展起了重要作用。近期拓扑Boole格理论的研究成果，散见于拓扑学、格论和数理逻辑等数学分支学科的文献中。海外学者的工作主要在Boole格的各种拓扑的性质和数理逻辑方面的研究，并且滤子和超滤子仍然是研究的重要对象和渠道。1979年赛贾列夫(Z．M．Saǐdaliev)讨论了备Boole格上的一种拓扑性质，对于备Boole格B和无限基数τ，给出了一个B上的分离拓扑是τ－拓扑的充要条件。1981年巴尔卡(B．Balcar)和西蒙(P．Simon)等人，研究了在什么条件下Boole格B的一个给定族A有不相交的加细的问题及必须将多少集合加入到一个给定滤子，从而得到一个超滤子基的问题。1983年特布劳斯基(B．Tembrowski)讨论了B3－代数的正规超滤子，找出了B3－代数的正规超滤子存在的充要条件，借助于正规超滤子刻划了B3－代数的一些子类的特性，描述了恒存在正规超滤子的B3－代数的结构，指出这类超滤子的存在性与B3－代数的良连通性(Well-connetedness)的性质紧密相关。这里引入的良连通性是拓扑Boole格的良连通性的推广。并指出这类包含正规超滤子的B3－代数在代数语义学中有重要应用。1984年施泰纳·唐纳德(D．Steiner．Donald)等人，在偏序集中引入分子元的概念，讨论了非分子生成集的不存在性，指出：对于Boolè格B，其子集G是生成集的充要条件是G为主超滤子。1986年特布劳斯基又研究了萨斯柯(R．Suszko)在1975年引入的称为B－代数的一类Boole格，在所考虑的这类Boole格中，有些子类对于非弗雷格(G．Frege)逻辑的代数语义学是重要的，且对麦金西(J．C．C．Mckinsey)－塔尔斯基(A．Tarski)定理：每个拓扑Boole格是某个良连通拓扑Boole格的同态象，进行了推广并作了证明。1987年吉尔茨(G．Gierz)研究了分配格的扎里斯基(O．Zariski)拓扑，这种拓扑是经过由分配格L上的一个格多项式和L的一个任意固定元来定义闭集而建立的。特别当分配格是Boole格时，扎里斯基拓扑与区间拓扑一致。并展示了扎里斯基拓扑与本性扩张的密切关系：每个分配格有一个为Boole格的极大本性扩张，而单射是从扎里斯基拓扑到区间拓扑的拓扑嵌入。中国董荣森近年对拓扑Boole格的理论进行了广泛深入的研究，致力于将拓扑空间的理论推广到拓扑Boole格上，其研究工作较侧重于格论方面。他讨论了拓扑Boole格的积、商、紧性、连通性和完备化等问题。较成功地将拓扑空间的积和连通性的基本理论推广到了拓扑Boole格上，摒弃了拓扑Boole格连续性的传统定义，建立了新的连续性定义，从而使得拓扑空间连续性的基本理论可以推广到拓扑一般Boole格上。由于拓扑Boole格的完备化问题是拓扑空间的理论可以被概括和推广到拓扑Boole格上去的一个关键，由此促进了对格的完备化问题的研究。董荣森取得了一系列完备化理论的重要成果，特别是1987年提出了“容”的概念，1990年又提出了有依存关系的简明的完备化思想。拓扑Boole格的理论是数理逻辑、格论和拓扑学等分支学科的学者们共同关心的理论。因此，今后可望取得的进展仍将主要围绕在这些分支学科中。一方面拓扑Boole格的各种拓扑性质的研究将继续取得进展。另一方面，与数理逻辑(如代数语义学等)密切相关的拓扑Boole格的研究将取得较丰富的成果。就将拓扑空间的理论全面推广到拓扑Boole格上而言，除已基本解决的积、连通性和连续性3个问题外，其它许多的理论问题都值得人们进一步研究。经过对完备化等理论的研究，可望完全达到法国学派没有达到的目标。同时，将拓扑空间的理论推广到拓扑一般Boole格、拓扑相对有补分配格、甚至推广到拓扑格上；格的有依存关系的简明的完备化问题；格的同态扩张成备同态；维数理论；以及应用问题等等，都有待人们去继续研究。【参考文献】：1 No beling G．Grundlagen der analytischen topologie，Springer-Verlag，Berlin，19542 关肇直．拓扑空间概论．北京：科学出版社，19583 Balcar,B, et al. Trans. Amer. Math. Soc. 1981,267(1): 265～2834 Tembrowski B. Demonstratio Math, 1983,16 (3) : 601 ～ 6175 Steiner Donald D, et al. , Nonexistence of nonmolecular generic sets, Publ. Inst. Math. (Beograd)(N. S. ),1984, 36(50):29～346 Tembrowiski,B. Studia Logica,]986,45(20):167～1797 Gierz Gerhard, et al. Rocky Mountain J. Math, 1987,17 (2):195～2178 董荣森．数学学报，1988，31(5)∶584～5949 董荣森．科学通报，1989，34(3)；238～23910 董荣森．中国科学(A辑)，1991，5∶449～456(江西师范大学董荣森副研究员、江西教育学院闵佑林副教授撰)