【厄密特－费叶插值理论】
拼译：theory of Hermiite-Fejér． interpolation
设
为一节点系，f(x)为定义在［－1，1］上的实函数。称满足
Hn(f，xk)=f(xk)，
，k=1，…，n (1)
的2n－1次代数多项式Hn(f，x)为函数f(x)的厄密特－费叶插值(多项式)(以下简记HF插值)。取雅可比(Jacobi)多项式
的零点为节点系，记对应的HF插值多项式为
。以第一类和第二类契比晓夫(Chebyshev)多项式Tn(x)，Un(x)的零点为节点系的HF插值分别是
(f，x)和
。此外，对条件(1)进行修改还有拟厄密特－费叶插值和高阶厄密特－费叶插值。
这里‖·‖表示在［－1，1］上的一致范数。
以后，波波维奇(T．Popoviciu)等人建立了用连续模估计(2)的逼近阶。其中较好的结果是鲍亚尼奇(R．Bojanic)于1969年建立的第1个非点态精确逼近阶：
于1983年建立的。沿着这个方向，1984年谢庭藩对
建立了点态精确阶，解决了沈燮昌于1983年提出的另一问题。随后，1986年孙燮华对一切－1＜α，β≤0建立了
的点态精确阶。但是，所有这些结果都是对正的HF插值建立的。对于非正的HF的插值，比如，对于较简单的关于契比晓夫节点的拟HF插值
能否建立形如(6)，或者较弱的结果(3)的问题尚未解决。就逼近阶估计这个方向而言，虽然今后的研究热点是对雅可比节点以外的其它各种节点，比如，拉盖尔(Laguerre)节点，厄密特节点、其它正交多项式的零点为节点的HF插值，高阶HF插值建立逼近阶的估计，但是，重要的进展将是对非正的HF插值建立点态的精确阶。2．逼近阶的渐近展开。1981年，哥德诺夫等人对拟HF插值
建立了点态渐近展开式
同年，蒋元林对
建立了非点态的渐近式
此处γ是欧拉(Euler)常数，B2k(k=1，2，…)是贝努里(Bernoulli)数，
1990年，蒋元林又将(9)改进为点态渐近式。对于奇数n，相应的完全展开式是什么呢?这是一个有意义的问题。对于Lip1α(0＜α＜1)的渐近展开问题可能更困难些，但是，这些问题的解决正是这个方向的有价值的重要进展。
1985年，谢庭藩注意到(7)式中，当x趋向于端点±1和节点xk时，展开式的主项的阶将高于余项。也就是说，(7)式是非一致成立的。于是，谢建立了第1个一致成立的渐近式：
式中xj为最接近x的一个节点。
对于一般的雅可比节点，由于它不能通过三角替换变成［0，π］上的等距节点，所以这类问题要开辟新方法。谢庭藩问
有怎样的渐近式?
1986年，周信龙先建立叶菲莫夫(Efimov)型渐近展开，然后解决了上述问题中ω(t)=t的情形。对于一般情形，甚至对ω(t)=tσ(0＜α＜1)情形，问题尚未解决。同前节的问题一样，所有上述的结果都是对正的HF插值建立的。今后，若能对非正的HF插值建立渐近式将是这个方向上的另一重要成果。3．饱和问题与逆定理。德伏(R．A．DeVore)曾经提出算了
的饱和问题，这个问题，在1973年被沙巴陶斯(J．Szabados)解决。他证明：
此处g(θ)=f(cosθ)，
是g(θ)的共轭函数。
时，
的饱和问题：(i)
(10)(ii)
且
时相应的饱和问题。此外，周信龙还首选建立了点态饱和定理，即(10)中的阶代之以点态阶
，从而建立相应的充要条件。与饱和问题密切相关的是正逆定理的建立。谢庭藩于1981年建立了如下正逆定理：设ψ(δ)＞0(0＜δ≤1)是单调增函数，满足
则
(中国计量学院孙燮华教授撰)