【切锥】
拼译：tangent cones
设X是一个Banach空间，
，x0∈S，S在x0点的切锥T(S，x0)是对集合S在x0点附近的一类局部锥逼近。这类锥逼近是近代凸分析、非光滑分析、非线性分析中的一个重要论题。它在最优化理论中起着关键性作用，在最优控制论、变分不等式、微分包含、收敛性理论中也得到广泛应用。
，其中距离函数ds(x0+ty)=inf｛‖x0+ty－x‖｜x∈S｝，它是一个闭锥，且有
，
使
，
，xk→x0，使λk(xk－x0)→y｝=｛y｜对原点的任意一个邻域V，
＞0，
，
使
，其中B是X中的单位闭球，集值映射的极限是Kuratovskii意义下的极限。它们是以后形成各种其它切锥概念的基础。切锥概念提出后，并未引起足够重视，直到1965年杜波夫斯基(A．D．Dubovickii)和米留金(A．A．Miliutin)在考虑约束极值问题时又提出两个新的切锥概念TD(S，x0)=｛y∈X ｜
对
，
使x0+μkdk∈S，K
；TM(S，x0)=｛y∈X｜存在原点邻域V，
，对
，
有x0+μ(y+u)∈S｝=｛y｜对
，
有x0+μkdk∈S，K充分大时｝，其中TD(S，x0)是闭锥，TM(S，x0)又称为内切锥，是开锥。随后阿巴迪(J．Abadie，1967)、古格勒德(M．Guignade，1969)又利用波利根德切锥定义非线性规划的约束规格，导出了最优解的K－T必要性条件。1970年洛克菲勒(R．T．Rockafellar)又发现凸函数f：X→R在x的次微分
，y＞≤f′+(x，y)，
，(x，f(x))｝，其中epif是f的上图，f′+(x，y)是f在x沿方向y的右方向导数，正则锥NB(epif，(x，f(x)))是切锥TB(epif，(x，f(x)))的负极锥。由于切锥在最优化及凸分析中获得这样重要的应用，切锥才开始为人们关注。1975年克拉克(F．H．Clarke)也提出了一种切锥TC(S，x0)
对
，
，xk∈S，
使
x)。这是一个闭凸锥，若S是凸集有TC(S，x0)=TB(S，x0)=TD(S，x0)。他还说明，若f：x→R在x0∈X是局部李普希兹的，那么f在x0点的克拉克次微分
是f在x0关于方向y的克拉克广义方向导数，正则锥Nc(·，·)是克拉克切锥(Tc(·，·)的负极锥。结合对凸函数的类似结果，西里阿特－尤鲁迪(J．B．Hiriart－Urruty，1979)联想到可以借助切锥来定义函数的方向导数和次微分，比妨说对函数：f：X→R，定义f在x∈X关于方向y的方向导数f′(x，y)=inf｛r∈R｜(y，r)T(epif，(x，f(x)))｝，次微分
．由取不同的切锥产生不同的方向导数及次微分，形成不同的次微分理论。这激发了人们对切锥的研究兴趣，将切锥研究推向高峰，出现了大批研究论文，其中柯勒特(B．Cornet)1981年的博士论文、西曼(J．S．Treiman)1983年的博士论文、皮诺特(J．P．Penot，1981，1985)、瓦特金斯(G．G．Watkins，1985，1986)对前面提出的各种切锥的性质及它们之间的关系作了细致的讨论。例如皮诺特(1981)说明若X=Rn，S闭，则
x)。西曼(1983)说明若S闭，则
。另外，多勒吉(S．Dolecki，1982)、波温(J．M．Borwein，1986)、哈代(G．Hadad，1987)、瓦德(D．E．Ward，1988)分别研究了切锥在收敛性理论、不等式系统、微分包含、非光滑最优化中的应用。特别是1984年奥宾(J．P．Aubin)、依克兰德(I．Ekeland)设X，Y是两个Banach空间，F是从X到Y的正常集值映值，(x0，y0)∈graph(F)，称一个从X到Y的集值映射DF(x0，y0)为F在(x0，y0)的导数，如graph(DF(x0，y0))=Tc(graph(F)，(x0，y0))。如将其中的克拉克切锥TC换为波利根德切锥TB，则称为伴随导数。这种用切锥定义集值映射的导数不仅在非线性分析中有重要意义，而且近几年柯里(H．W．Corley，1987，1988)、鲁克(D．T．Luc，1989)，塔里诺(T．Tanino，1988)等成功地将它们应用于多目标规划和集值映射极值问题。自克拉克切锥提出以后，近十几年还提出了许多新的切锥概念。例如波特扬斯基(V．G．Boltyanskii，1975)提出的帐棚概念，洛克菲勒(1979)定义TR(S，x0)=｛y∈X｜对
，
，xk∈S，
有xk+μkdk∈S，K充分大时｝为S在x0的超切锥，TR′(S，x0)=｛y∈X｜对
，
，xk∈S有xk+μky∈S，K充分大时｝为S在x0的经向超切锥，说明TR(S，x0)是开凸锥，如S闭，有TR(S，x0)=intTc(S，x0)。皮诺特(1981)定义Tp(S，x0)=｛y∈X｜
，任意使得
－x0)收敛的xk∈S，xk→x0，
有xk+μkdk∈S，K充分大时｝。马丁等(D．H．Martin，1981)提出的指示锥。由塞斯库(C．Urescu，1982)定义
，对
有x0+μkdk∈S，K充分大时｝，它是开锥，如S凸则是开凸锥且Tu(S，x0)=TM(S，x0)。多勒斯基(1983)提出的超切锥。马丁和瓦特金斯(1985)提出的核心切锥。约费(A．D．Ioffe，1986)用序列化方法统一描述切锥，对前面定义的各种切锥的运算性质作了详细讨论，还提出了经向切锥和内经向切锥的概念。柯勒特(1987)定义
隐涵〈y，u－x0〉≤0｝，这是闭凸锥。他采用一种巧妙的方法统一地讨论了各种切锥集值映射T(S，x)，x∈S的连续性的性质。波温等(1989)提出的超切锥。皮诺特(1985)对(tk，xk)∈(0，∞)×S收敛于(0，x0)定义了一般的e－收敛性，借助它皮诺特(1985)、阿伯杜尼等(B．E1．Abdouni，1989)各自定义了一种e切锥。当其中的e－收敛性取不同的特殊的收敛性时，e－切锥将对应不同的切锥，它包含常用的波利根德切锥、克拉克切锥。阿伯杜尼还定义了对集值映射的拟内部e－切锥。丹克斯(S．Dancs，1990)设S，
，x0∈clQ，定义S在x0相对Q的上广义切锥
，讨论了这种广义切锥的性质及在最优化中的应用。卡瓦沙吉(H．Kawasaki，1988)、柯米勒提(R．Cominetti，1990)各自定义了一种二阶切锥并成功地应用于非线性规划二阶最优性条件的讨论。帕伯拉多(M．Pappalardo，1991)讨论了局部李普希兹函数上图的波利根德切锥与Dini导数的关系。由于大量切锥概念的产生，相应地出现了许多不同的次微分理论，也扩大了切锥的应用范围。【参考文献】：1 Hiriart-UrrutyJB. Math Oper Res,1979,4:79～972 Rockafellar R T. NonlinearAnalysis,1979,3:145～ 1543 Ursescu C. S1AM J Control Optim, 1982,20:563～5744 Clarke F. Optimization and nonsmooth analysis. New Yo-rk：John Wiley &. Sons,19835 Aubin J P, et al. Applied nonlinear analysis. New York： John Wiley &- Sons,19846 Penot J P. Lecture Notes in Economical and Mathematical Systems 255,Springer-Verlag,1985,41～547 Cornet B. Math Prog Study,1987,30,17～338 Dancs S. J Optim Theory Appl,1990,67:43～559 Pappalardo M. I Optim Theory Appl,1991,70:97～10710 梅家骝．江西大学学报(自然科学版)，1990，14∶24～30(南昌大学梅家骝教授撰；李宗元审)