【不同模量弹性理论及其数值计算】
拼译：theory and numerical computation of dual elastic modulous
不同模量弹性理论是研究材料的拉、压弹性模量和波松比不等的弹性力学问题。随着新型材料工业的日益发展和新型结构材料(如：玻璃钢，陶瓷，塑料，混凝土，岩石，地基，某些金属等)的开发和利用，用不同模量弹性理论及其数值计算来分析新型材料的强度、刚度和蠕变等问题已开始受到广泛的重视。在现代技术——建筑业、机器制造、飞机制造、造船及火箭等行业中，愈来愈多地应用受拉与受压时力学特性不相同的新型结构材料。不同模量弹性力学及其数值计算是为解答新型材料结构的刚度和强度而建立起来的。利用这一新学科提高了力学分析的精度，揭示了利用经典弹性理论分析的矛盾和局限性。不同模量弹性理论基于经典弹性理论，它同各向异性弹性力学和复合材料力学等一样，是经典弹性理论的延伸和分支。
不同模量弹性理论由阿姆巴尔楚米扬(C．A．AмбapuyмяH)于20世纪70年代创立。该理论用来计算受拉与受压时力学特征不同的玻璃钢等新型材料结构的强度、刚度、温度应力、蠕变等问题。阿姆巴尔楚米扬总结分析大量新型材料的试验数据得出结论，大部分不同模量材料的拉伸和压缩的应力——应变图可用两条直线近似画出，即用在零点切线不连续的分段直线来表示，其精度是足够的。在不同模量弹性理论中，与经典弹性理论一样，亦假定所研究的物体是连续的弹性体，并且是均匀的和各向同性的，不存在最优方向，材料的弹性性质在各个方向是相同的。但是，根据主应力在给定点上符号的不同，在相应的方向上可表现出不同的弹性性质。同时还假定，所研究的材料在任意应力状态下只发生弹性小变形并服从连续介质的一般规律。因此，经典弹性理论与不同模量弹性理论之间的差别仅包含在建立应力与应变之间的物理关系中。若干新型结构材料具有相当大的不同模量性，其中如任意排列加筋和不加筋的聚合物。聚合材料的不同模量性主要与制造工艺、联系材料和加筋材料的质量、特性及温度等等有关。下表列出了有机玻璃在拉伸时弹性模量几乎比压缩时弹性模量小一倍，与试验的温度和增塑剂的含量有关。
在此理论中，把3个主应力有相同符号的点或区域叫做第一类点或区域；把某一个主应力符号与另外两个主应力符号不同点或区域叫做第2类点或区域。对第1类点，不同模量弹性理论与经典弹性理论的基本公式完全一致；对第2类点，在其物理方程中应分别使用E+，μ+或E－、μ－，根据以上的特点和假设，建立不同模量弹性理论的基本方程，并对若干问题作出了解答。阿姆巴尔楚米扬等利用不同弹性模量理论，分析薄壁圆筒的扭转、梁的纯弯曲、空心圆柱体的轴对称、空心球形容器、棱柱体的纵向振动等若干称之为最简单的问题。诚然，用分析法求解不同模量弹性理论问题，比用分析法解经典弹性理论问题会更加困难，特别是对工程结构，通常是无能为力的。难点在于所使用的弹性模量E+、产+或E－、μ+与主应力符号及其主方向牵到一起，而给定点的主应力符号和方向与外载荷、求解区域、边界条件有关，通常是非线性问题。
为了便于实现和简化问题，阿姆巴尔楚米扬的理论和算法，是建立在θ=μ－／E+－μ／E－=0条件下的。这一限制性的假设很不符合大多数新型材料的特性，因而说该理论和算法的应用价值很差。在此期间未见有关于数值解法的论文发表，仅靠理论确实很难解答实际工程问题。自从1986年邬瑞锋、张允真翻译出版了《不同模量弹性理论》(Theory of dual elastic modulous)之后，中国学者开始了不同模量弹性理论的数值分析工作，后于1989年1～2月张允真、王志锋在中国首次公开发表了《不同拉压弹性模量刚架的算法》和《不同模量弹性力学问题的有限元法》2篇论文，为这一学科的数值解打开了研究局面。迄今为止，包括不同模量性材料试验在内，在中国公开发表已近20篇文章，其中主要是算法研究，含有有限元位移位法、初应力法、小参数法等。在数值算法中，取广义弹性定律是：
或 ｛eI｝=［a］｛бI｝
式中：eα，eβ，ey是主应变；бα，бβ，бγ是主应力；αij是柔度系数；下标I表示主应变(力)。
如果бα，бβ，бγ＞0则aii=1／E+，aij=-μ+／E+；如果бα，бβ，бγ＜0，则aij=1／E－，aij=－μ－／E－；如果бα，бβ＞0，бγ＜0则a11=a22=1／E+，a33=1／E－，a12=a21=a31=a32=－μ+／E+，a13=a23=－μ－／E－；等等。阿姆巴尔楚米扬作了如下假定：
因而矩阵［a］是对称的。如果用［D］表示弹性矩阵，则
｛бI｝=［D］｛eI｝，［D］=［a］－1
应变能表达式是
或
式中：｛eI｝=［L］｛e｝；
；｛e｝是全应变列阵；［L］是主应变方向列阵。
式中：｛f｝、
、
分别是位移、体积力、表面力分量的列阵。
式中，M是单元总数。
设单元位移函数为｛f｝=［N］｛d｝
由此得到应变列阵和几何矩阵
｛e｝=［B］｛d｝，［B］=［H］［N］
式中：［N］、｛d｝、［H］分别是单元的形状函数，节点位移和微分算符矩阵。
于是，得到
式中，［k］i和
分别是单元i的刚度矩阵和节点荷载列阵。
［K］｛u｝=｛P｝
式中，［K］和｛P｝分别是总刚度矩阵和方程组右端项，它们分别由［k］i和
集成。
［K］i｛u｝i+1=｛P｝
如果第L+1次迭代解与第L次迭代解相差无几，满足精度要求，则认定｛u｝e+1为真实的位移解答。计算表明，本迭代法是收敛的，收敛速度快。
以上的算法是在μ+／E=μ－／E－或θ=0条件下进行的。中国学者张允真、孙东科、赵达壮研究了在θ≠0条件下的算法，并作了误差分析。不同模量弹性力学及其数值计算在中国尽管研究成果不多，但确实取到了一个好的开端。随着科技事业的发展和新型工程材料的开发和利用，对不同模量弹性理论及其数值分析会有更高的要求和广泛的应用。今后主要的研究热点是：(1)新型材料的力学特征试验，测出材料的E+，E+，μ－，μ+以及它们随温度的变化；(2)加强算法研究，提供有效的计算方法，以适应静力和动力，线性力学和非线性力学，材料力学和板壳力学等分析的需要；(3)加强不同模量弹性、塑性力学的探索，建立和发展相应的理论，使之更严谨更完善更全面；(4)应用及其研究是发展这一学科的推动力量，总结不同模量弹性力学及其数值分析在现代工程中的应用，必会对工作大有裨益。(大连理工大学张允真教授撰)