【路代数】
拼译：path algebra
代数领域中构造代数的基本方法之一。具有直观性。由于帽瑞塔(Morita)的等价理论，路代数与代数闭域上的有限维代数紧密相关，即路代数模掉一个容许理想所得的商代数的表示范畴是有限维代数的表示理论的主要研究对象。路代数的表示在代数表示论中占有重要的地位。许多重要的数学问题，如线性代数中矩阵的标准型问题和几何中的一些问题等都与路代数的表示等价。
假定已知一个箭袋(quiver)，换句话说，给了一个有向图Q，我们再固定一个域K，考虑所有由有限长路(这里路有起点和终点的)为基所构成的K上向量空间KQ，定义乘法为路的自然相连接(两条不可连接的路定义其乘法为0)。这样便得一个域K上的结合代数，称之为路代数。路代数产生，于是在20世纪70年代初。当时，皮特·伽布利欧(P．Gabriel)试图将不同的代数和几何问题归结为线性代数问题，他引入路代数及其表示，并证明代数闭域上的任何有限维代数都Moritat等价于一个路代数模掉一个容许理想(admissible ideal)所得的商代数。于是，有限维代数的表示就归结为路代数的商代数的表示。而后者可用一簇与路代数的顶点一样多的向量空间及与箭向一样多的线性变换以及这些线性变换之间应满足的一些关系来描述。这样有限维路代数表示有限型的判别定理就由伽布利欧用箭袋完全刻划了，这个定理的另一个转理想的证明后来由贝恩斯坦(I．N．Bernstein)等给出，这里我们称KQ是表示有限型的，是指在同构意义下，它的不可分解的表示只有有限多个。伽布利欧的定理表明：一个有限维路代数KQ是表示有限型的，当且仅当Q看作图时是有限个Dynkin图的不相交并。于是，每个不可分解表示由其维数向量唯一确定。在此之后，德拉波(V．Dlab)和林格尔(C．M．Ringel)于1978年推广这一结果，并研究了驯服型(tame)的路代数，这类代数是表示无限型的。他们证明一个连通路代数是驯服型的当且仅当Q看作图时是扩张Dynkin图。在他们的研究中，驯服型路代数的表示范畴的结构得到深刻的刻划，他们证明该范畴由预投射分支、预内射分支和若干个管(tube)组成。林格尔还对路代数的另一表示型，即野型(wild)路代数作了详细研究。我们知道，野型路代数是指既不是有限型也不是驯服型路的代数，对野型路代数表示范畴的研究是一个十分困难的问题。然而，林格尔1978年研究表明，有限维野型路代数除了预投射和预内射分支外，还有正则分支，且正则分支都具有形状
(即形如正半平面上的格点之集合)。因此，与驯服型代数不同，它没有管状分支。这是首次对野型路代数的表示所作的精确描述。在对路代数的表示范畴的“宏观”研究得到了一些结果的基础上，到了20世纪80年代，人们开始了对路代数进行“局部”的研究，这里主要指的是对野型路代数的分支及其模以及态映的研究。首先，为了度量路代数的表示范畴的分支的增长状况，德拉波和林格尔曾引入增长数(growth number)的概念，并用考克斯特矩阵(coxeter matrix)的最大特征根来确定它。证明有限型路代数的增长数是零，驯服型的是1，而野型的则大于1。本文作者确定增长数较小的野型路代数。最近，路代数的理论以及增长数被德拉波和林格尔用于刻划半单曾于1990代数的塔(tower of semisimple algebra)理论以及所涉及到的琼斯指数(Jones index)，而且大于4的最小琼斯指数正好在增长数较小的野型路代数中得到实现。因为预投射与预内射分支是直向的，可以说是相当好的分支，于是，主要的研究便放在正则分支上。正则分支上的表示如果没有真子正则表示，则称为拟单表示(quasi-simple)，它也是人们感兴趣的表示之一。因为正则分支上的任何不可分解表示在同构意义下有唯一的滤使其因子(factor)是拟单的。这样，该分支上任何不可分解表示都是由其滤长和其拟头(quasi-top)决定的。因此，正则分支可由它的拟单表示决定。另一类感兴趣的表示是无限维不可分解表示，但它作为其自同态环上的表示是有限长的，这类表示叫做一般(generic)表示。林格尔曾在1979年就证明驯服型路代数有唯一的一个一般表示。最近，哈培尔(D．Happel)和翁格尔(L．Unger)构造无限多个野型克朗涅克尔(Kronecker)代数的一般表示。关于态射，贝尔(D．Baer)证明：如果X和Y是两个不可分解的正则表示，则存在一个整数S(X，Y)，使得Hom(X，τsY)≠0对任意的s≥s(X1Y)。这里τ表示Auslander-Reiten位移。这个事实的相反结论是克努尔(O．Kerner)证明的，即存在一个整数t(X，Y)，使得Hom(rtX，Y)=0对任意的t≥t(X，Y)。于是，整体上说来，在野型路代数的正则分支上，映射是单方向的，即朝着AR－箭袋的箭向的相反方向。克努尔对野型路代数KQ的研究进一步揭示了野型路代数的野性。他的研究主要集中于对由所有正则分支所构成的集合Ω(Q)的研究。注意Ω(Q)是可以用拟单表示的τ－轨道来作指标集的。他证明了这个集合可以看作是与Q不相关的，即给定两个路代数KQ和KQ′(这里K是代数闭域)，则Ω(Q)和Ω(Q′)是内在一一对应的，这个结果深刻反映路代数的更本质的特点。这里我们要指出的是，野型路代数的分类问题是与许多重要的数学问题连在一起的，如n≥3个同阶矩阵组的同时进行列与行变换的标准型分类问题，因此，它的答案也是对这些数学问题的答案。另外，利用路代数去研究斜倾代数(tilted algebra)也取得了许多成果。比如，斯特劳斯(H．Strauss)证明，如果KQ是无限表示型的，且它的一个倾斜表示T无预内射直和项，则T的自内态代数(EndT)有唯一预射分支，如果令I表示它在该环中的零化子，则商代数(EndT)／I是隐代数(concealed algebra)且与KQ有相同的表示型，利于倾斜理论，翁格尔建立了任何一个连通野型代数与野型克朗涅克尔代数的关系。她还研究了路代数上由偏倾斜(partial tilting)表示所构成的集合的几何性质。目前路代数表示论的研究热点大体上分为：(1)对某些具有特殊性质的表示的研究，如拟单表示，无自扩张的砖块(brick)等。(2)克努尔对应的性质及其不变量。(3)路代数的表示与李代数的联系。(4)偏倾斜表示所构成的集合的几何性质的进一步研究。从环论的角度，对路代数进行探讨，也在80年代取得了若干进展。首先是同构问题：即两个路代数KQ和KQ′同构是否必有Q同构于Q′?这个问题由刘绍学等肯定解决。此外，他还讨论了另外一个自然的问题，即箭袋的性质是如何与路代数的性质联系在一起的?他用箭袋Q中的数据分别给出了KQ是Artin的(半单的、半本质的、左Noether的等)的充分和必要条件。这些结果后来也被他推广到赋值图上。【参考文献】：1 Gabriel P. NazAltaMat, 1973,11:81 ～ 1042 Bernstein I N, et al. Russian Math,Surveys,1973,28:17～ 323 Dlab V, et al. Memoirs Amer Math, Soc,1978.1734 Ringel CM .Math Z,1978,161:235～2555 Dlab V , et al. Proc Amer Math Soc, 1981,83(2): 228～ 2326 Baer D. Manusr Math,1986,55:69～827 Liu SX. Acta Math sinica, 1988,131:483～4878 Xi CC. Commin Algebra,1990,18(8):3413～34229 KernerO.J Algebra,1991,142:37～5710 Dlab V et al. J Funct Anal, 1991,102:35～46(北京师范大学惠昌常博士撰)